Una generalización de las medias

Jhon Cook trae a colación el siguiente resultado que generaliza algunas de las medidas más utilizadas en estadística. Sea \(\mathbf{x}=(x_1, \ldots, x_n)\) un vector de \(n\) números reales no negativos. Se define, para \(r \neq 0\), \(M_r(\mathbf{x})\) como

\[ M_r(\mathbf{x})=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^r\right)^{1/r}. \]

Entonces, la media aritmética, harmónica y geométrica corresponden a \(M_1\), \(M_0\) y \(M_{-1}\). Si se define \(M_{\infty}\) como el límite cuando \(r\) tiende a \({\infty}\) y, similarmente, se define \(M_{-\infty}\) como el límite cuando \(r\) tiende a \(-\infty\), entonces \(M_{\infty}=\max(x_1, \ldots, x_n)\) y \(M_{-\infty}=\min(x_1, \ldots, x_n)\).

Además se tiene el siguiente resultado: si \(p_i>0\) y \(\sum_{i=1}^n p_i=1\), entonces

\[ M_r(\mathbf{x})=\left(\sum_{i=1}^n p_i x_i^r\right)^{1/r}. \]