2  Conceptos básicos en encuestas de hogares

Las encuestas de hogares constituyen una de las principales herramientas para comprender la realidad social y económica de una población. A partir de ellas se obtiene información esencial sobre las condiciones de vida, el empleo, la educación, la salud y otros aspectos que orientan la formulación de políticas públicas y la toma de decisiones basadas en evidencia. El análisis riguroso de estas encuestas es fundamental para estudiar la realidad social, económica y demográfica de una población, así como para monitorear el progreso de los países en el cumplimiento de la Agenda 2030 y los Objetivos de Desarrollo Sostenible (Naciones Unidas 2021). Sin embargo, la validez de los análisis no depende únicamente del tamaño de la muestra o de la calidad de la recolección de datos, sino también de la manera en que la encuesta fue diseñada y de cómo dicho diseño se incorpora en el análisis estadístico. Ignorar el diseño de muestreo y aplicar métodos de análisis tradicionales (que asumen una muestra aleatoria simple) puede conducir a estimaciones sesgadas, errores en la inferencia y por ende conclusiones equivocadas.

En la práctica, las encuestas de hogares suelen utilizar diseños de muestreo complejos que combinan la estratificación, junto con la selección de informantes en varias etapas y ajustes a los factores de expansión que generan ponderadores desiguales. Este tipo de diseños busca optimizar recursos y mejorar la precisión de las estimaciones, e ignorar estas características invalida la representatividad de la información producida. Por ende, para obtener conclusiones válidas sobre la población, es necesario reconocer que la muestra no proviene de una selección aleatoria cualquiera, sino de un plan probabilístico cuidadosamente definido.

2.1 Población objetivo y unidades de muestreo

Gambino y Nascimento Silva (2009) menciona que, desde la popularización de las encuestas de hogares en la década de 1940, se ha evidenciado diversas tendencias asociadas a los avances tecnológicos tanto en las oficinas e institutos nacionales de estadística como en la sociedad en general, las cuales se aceleraron con la introducción de las herramientas computacionales. En este contexto, el muestreo surge como una respuesta a la necesidad de obtener información estadística precisa sobre una población objetivo sin recurrir a la realización de un censo completo. Como señala Gutiérrez (2016), una encuesta por muestreo estudia una parte de la población con el propósito de realizar inferencias sobre su conjunto.

En las últimas décadas, la realización de encuestas se ha consolidado en distintos campos, especialmente en el sector gubernamental, mediante la producción de estadísticas oficiales que permiten el seguimiento de las políticas públicas. Asimismo, el uso del muestreo se ha extendido al ámbito académico, al sector privado y a los medios de comunicación, donde constituye una herramienta fundamental para la generación y el análisis de información (Groves et al. 2009).

Toda encuesta se encuentra asociada a una población finita compuesta por individuos o elementos sobre los cuales se desea obtener información. El conjunto de unidades sobre las que se producirán estimaciones y resultados recibe el nombre de población objetivo. Asimismo, las encuestas definen unidades de análisis, que corresponden a los distintos niveles de desagregación para los cuales se presentan estadísticas de interés, como personas, hogares o viviendas.

2.2 Diseños de muestreo

Las encuestas de hogares suelen basarse en diseños de muestreo complejos, caracterizados por tres elementos principales: factores de expansión desiguales, selección de unidades mediante conglomerados y múltiples etapas, y estratificación de la población. Estas características determinan la manera en que cada observación contribuye a las estimaciones y afectan tanto la estimación puntual como su precisión. Por esta razón, deben incorporarse explícitamente en el análisis estadístico de las encuestas.

El principio de representatividad (Gutiérrez 2016) indica que cada unidad de la población posee una probabilidad conocida y distinta de cero de ser incluida en la muestra. Este paradigma constituye la principal garantía de que los resultados puedan generalizarse a la población de referencia. Bajo este enfoque, los estimadores de muestreo son insesgados (o aproximadamente insesgados) con respecto al diseño de muestreo, y no es necesario asumir ningún supuesto sobre distribuciones específicas para la variable de interés. Esta característica confiere a la inferencia basada en el diseño un carácter robusto y ampliamente aceptado en el análisis de encuestas de hogares.

2.2.1 Factores de expansión

Los factores de expansión (ponderadores, o pesos de muestreo) indican cuántas unidades de la población representa cada unidad seleccionada. En su forma más básica, se obtienen como el inverso multiplicativo de la probabilidad de inclusión de un elemento. Por consiguiente, cuando las unidades tienen probabilidades de selección diferentes, también reciben factores de expansión desiguales. Al especificar correctamente estos factores en el análisis, las estimaciones tienen en cuenta las particularidades del diseño y reflejan adecuadamente la estructura de la población.

No obstante, los pesos básicos de muestreo suelen requerir ajustes adicionales con el fin de mejorar la precisión y la robustez de las estimaciones. Uno de los ajustes más comunes corresponde al tratamiento de la no respuesta, mediante el cual los pesos de las unidades que sí respondieron se incrementan para representar también a aquellas unidades seleccionadas que no participaron en la encuesta, contribuyendo así a reducir posibles sesgos. Otro ajuste ampliamente utilizado es la calibración (Deville y Särndal 1992), que consiste en modificar los pesos para garantizar que las sumas ponderadas de ciertas variables auxiliares, como la edad o el sexo, coincidan con totales poblacionales conocidos provenientes de censos o proyecciones demográficas.

Los ajustes de los pesos no solo corrigen las imperfecciones derivadas de la no respuesta o la cobertura incompleta, sino que también fortalecen la coherencia entre la muestra y la población objetivo, garantizando que las inferencias sean estadísticamente válidas y comparables con otras fuentes oficiales (Kalton y Flores-Cervantes 2003). Los pesos calibrados tienden a reducir la varianza de las estimaciones, mejorando su precisión sin alterar los totales poblacionales conocidos (Särndal y Lundström 2005). En consecuencia, la calibración no solo corrige, sino que también optimiza el uso de la información disponible, permitiendo obtener resultados más precisos.

Valliant y Dever (2017) presentan un marco sistemático para construir, ajustar y evaluar los pesos de una encuesta compleja, que abarca desde el cálculo de los pesos iniciales hasta los ajustes por falta de respuesta, la calibración con información auxiliar y su consideración en la estimación de varianzas. En consonancia con este enfoque, el paquete weightflow permite implementar estas etapas mediante un flujo de trabajo reproducible (Ferreira 2026).

Como muestran Korn y Graubard (1995), las estimaciones ponderadas y no ponderadas pueden diferir sustancialmente, lo que evidencia la importancia de utilizar métodos de análisis coherentes con el diseño de la encuesta. Naciones Unidas (2026, cap. 9) presenta el siguiente ejemplo. Supóngase un país conformado por dos regiones: la Región A, con 100 habitantes y un ingreso promedio de $10.000, y la Región B, con 900 habitantes y un ingreso promedio de $2.000. El ingreso promedio verdadero de la población es:

\[\theta = \frac{(100 \times 10.000) + (900 \times 2.000)} {100 + 900} = 2.800\]

Si se seleccionan 50 personas en cada región y se ignora el diseño de muestreo, asignando el mismo peso a todas las observaciones, el promedio estimado sería:

\[\hat{\theta} = \frac{(50 \times 10.000) + (50 \times 2.000)} {100} = 6.000\]

En este caso, la estimación sobrestima considerablemente el ingreso nacional, ya que la Región A, que representa únicamente el 10% de la población, termina influyendo tanto como la Región B, que concentra el 90%. En cambio, al aplicar pesos proporcionales a los tamaños poblacionales (1 para la Región A y 9 para la Región B), se obtiene la siguiente estimación:

\[\hat{\theta} = \frac{(1 \times 50 \times 10.000) + (9 \times 50 \times 2.000)} {(1 \times 50) + (9 \times 50)} = 2.800\]

Este resultado coincide con el valor verdadero de la población y muestra cómo el uso adecuado de los pesos corrige el sesgo introducido por un análisis que ignora el diseño de muestreo.

2.2.2 Conglomeración y selección en múltiples etapas

En las encuestas de hogares con diseños complejos, los marcos de muestreo suelen estar basados en áreas geográficas. Es decir, se construyen a partir de estructuras espaciales que vinculan a los hogares o personas con zonas delimitadas del territorio. Este tipo de marco de áreas facilita la organización territorial en unidades más manejables y permite implementar procesos de selección en varias etapas, manteniendo los principios del muestreo probabilístico. En estos diseños, las unidades primarias de muestreo (UPM) suelen corresponder a sectores censales, áreas de enumeración u otras divisiones territoriales, dentro de las cuales se construyen o actualizan listados de viviendas para las etapas posteriores de selección (Naciones Unidas 2005, cap. 4).

En la práctica, este tipo de diseños permite reducir los costos operativos y facilitar el trabajo de campo; sin embargo, también tiene implicaciones importantes sobre la precisión de las estimaciones. Cuando los hogares pertenecientes a un mismo conglomerado comparten características similares, la información adicional que aporta cada nueva observación dentro del conglomerado disminuye.

Por ejemplo, supóngase una encuesta que selecciona 100 conglomerados y, dentro de cada uno, 10 hogares, obteniendo así una muestra total de 1.000 hogares. Si los hogares de un mismo conglomerado presentan comportamientos muy parecidos (por ejemplo, niveles de ingreso cercanos, o todos cuentan con acceso a electricidad), la variabilidad efectiva de los datos en la muestra se reducirá considerablemente. En términos prácticos, la precisión obtenida podría ser equivalente a la de una muestra aleatoria simple de apenas 100 hogares (Kish y Frankel 1974). Analizar los 1.000 hogares como si fueran observaciones completamente independientes, ignorando la estructura de conglomeración, conduce a una subestimación de los errores estándar y, en consecuencia, a intervalos de confianza artificialmente estrechos y conclusiones potencialmente erróneas.

2.2.3 Estratificación

La estratificación consiste en dividir previamente la población en grupos mutuamente excluyentes, denominados estratos, y seleccionar una muestra independiente dentro de cada uno de ellos (Särndal, Swensson, y Wretman 2003). Los estratos pueden definirse a partir de criterios geográficos, administrativos, demográficos o socioeconómicos. En las encuestas de hogares, es frecuente utilizar combinaciones de región, área urbana o rural y características socioeconómicas para formar los estratos del diseño (CEPAL 2023).

Este procedimiento permite garantizar la presencia en la muestra de grupos relevantes que podrían quedar insuficientemente representados bajo una selección no estratificada. También puede mejorar la precisión de las estimaciones cuando las unidades pertenecientes a un mismo estrato son relativamente homogéneas y existen diferencias importantes entre los estratos. La asignación de la muestra entre ellos puede realizarse de manera proporcional a su tamaño o mediante asignaciones no proporcionales orientadas a satisfacer objetivos específicos de precisión (Cochran 1977; Gutiérrez 2016).

La estratificación también puede producir probabilidades de selección diferentes entre las unidades. Por ejemplo, una región pequeña puede recibir una fracción de muestreo mayor para asegurar un número suficiente de observaciones, mientras que una región más poblada puede recibir una fracción menor. Esta asignación desigual genera factores de expansión diferentes y refuerza la necesidad de considerar conjuntamente los estratos y los pesos de muestreo durante el análisis (Naciones Unidas 2005).

2.3 Estimadores de muestreo

Al analizar datos provenientes de encuestas complejas, es fundamental definir con precisión el parámetro de interés. Este corresponde a una cantidad fija, aunque generalmente desconocida, que se obtiene a partir de los valores de todas las unidades que conforman la población finita, denotada por \(U\), y que resume alguna de sus características. Entre los parámetros más comunes se encuentran las proporciones, los totales, las medias, las razones, entre otros. Dado que, en la práctica, no es posible observar a toda la población, las encuestas por muestreo permiten inferir estos parámetros a partir de una muestra, denotada como \(s\).

En el muestreo probabilístico, cada unidad de la población tiene una probabilidad de inclusión conocida y mayor que cero de ser seleccionada en la muestra. Estas probabilidades constituyen la base para el cálculo de los pesos básicos de muestreo, los cuales se utilizan posteriormente para estimar los parámetros poblacionales mediante sumas ponderadas de los datos recolectados en la encuesta. Cuando el diseño y la selección se implementan correctamente, los estimadores resultantes son insesgados respecto del diseño; es decir, su valor esperado, calculado sobre todas las muestras posibles, coincide exactamente con el parámetro poblacional (Särndal, Swensson, y Wretman 2003).

La estimación de totales constituye un paso central en el análisis estadístico aplicado a poblaciones finitas. Gran parte de los indicadores de interés para la formulación de políticas públicas (como por ejemplo, el número de personas en situación de pobreza, el total de ocupados o el gasto agregado de los hogares) se derivan de un total poblacional. Por esta razón, comprender cómo se definen y estiman los totales resulta fundamental para garantizar la calidad y pertinencia de la información producida.

En términos formales, si \(y_k\) denota el valor de una variable de interés para la unidad \(k \in U\), el total poblacional se define como

\[t_y = \sum_{U} y_k\]

Denotando a \(N\) como el tamano de la población, la media poblacional se define como \(\bar{y} = \frac{t_y}{N}\). Dado que en la práctica solo se observa una muestra \(s \subset U\), es necesario recurrir a estimadores que incorporen el diseño de muestreo. Por ejemplo, el estimador de Horvitz–Thompson (Horvitz y Thompson 1952) se expresa como

\[ \hat{t}_{y} = \sum_{k \in s} d_k y_k \tag{2.1}\]

donde \(d_k = 1/\pi_k\) corresponde al peso básico proveniente del diseño de muestreo y \(\pi_k = \Pr(k \in s)\) es la probabilidad de inclusión de primer orden asociada al individuo \(k\). En la práctica, los pesos básicos \(d_k\) suelen ajustarse para reflejar procesos adicionales como el ajuste por no respuesta o la calibración a totales poblacionales conocidos, obteniendo así nuevos pesos ajustados, denotados como \(w_k\) para todo \(k \in s\). El uso de los pesos \(w_k\) permite mejorar la precisión y reducir sesgos en las estimaciones, especialmente cuando existen fuentes auxiliares de información confiables (Deville y Särndal 1992).

Toda estimación a partir de una muestra conlleva incertidumbre, puesto que las estimaciones varían de una muestra a otra debido a la propiedad de aleatoriedad del diseño. Esta incertidumbre se cuantifica mediante la varianza del estimador con la cual se puede calcular el error estándar (\(se\)) o el coeficiente de variación (\(cv\)). Estos indicadores son herramientas indispensables para evaluar la precisión de los totales estimados y, por tanto, para interpretar de manera adecuada la información estadística. Por ejemplo, un estimador insesgado para la varianza del estimador de Horvitz–Thompson (ecuación 2.1) puede expresarse como:

\[ \widehat{Var}_p(\hat{t}_{y}) = \sum_{k \in s} \sum_{l \in s} \bigl( d_k d_l - d_{kl} \bigr) y_k y_l \tag{2.2}\]

En donde \(d_{kl} = 1/\pi_{kl}\) y \(\pi_{kl} = \Pr(k,l \in s)\) representan probabilidades de inclusión conjuntas. Para garantizar el insesgamiento en ecuación 2.2, el diseño muestral debe satisfacer \(\pi_{kl}>0\) para todo par de unidades \(k,l\in U\).

Para comprender de manera más concreta la relevancia de considerar el diseño muestral en la estimación de totales y de sus varianzas, analicemos un ejemplo de Naciones Unidas (2026) que permite visualizar cómo el método de estimación se ajusta al esquema de selección adoptado. Suponga una población finita de tamaño \(N=6\), de la cual se selecciona una muestra aleatoria simple (MAS) sin reemplazo de tamaño \(n=3\). En dicha muestra se observan los valores \((y_1=10, y_2=14, y_3=18)\). Bajo este diseño, el estimador de Horvitz–Thompson del total poblacional se define como la suma de los valores observados divididos por sus probabilidades de inclusión, y su varianza estimada se obtiene a partir de las covarianzas inducidas por el proceso de selección. De esta forma, la estimación del total poblacional es \(\hat{t}_{y}=84\).

Como señala Gutiérrez (2016), para este diseño de muestreo particular, la expresión general de la varianza presentada en ecuación 2.2 se reduce a:

\[\widehat{Var}_{MAS}(\hat{t}_{y}) = \frac{N^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)S_{y_s}^2\]

donde \(S_{y_s}^2\) corresponde a la varianza muestral de los valores observados. Sustituyendo`los valores del ejemplo en la expresión anterior, se obtiene \(\widehat{Var}_{MAS}(\hat{t}_{y})=96\). En contraste, si se ignoraran las características del diseño muestral y los datos se analizaran como si provinieran de una muestra aleatoria simple, la varianza se estimaría incorrectamente mediante la expresión \(\frac{N^2}{n}S_{y_s}^2 = 192\). Este valor duplica la varianza estimada bajo el diseño de muestreo, y conduce, por tanto, a una sobreestimación de la incertidumbre asociada al estimador. En consecuencia, el intervalo de confianza resultante sería innecesariamente más amplio, lo que reduciría la precisión aparente de la estimación y podría conducir a conclusiones equivocadas sobre la incertidumbre de los resultados.

2.4 El efecto de diseño (DEFF)

De acuerdo con Kish (1965, 258), el efecto del diseño (design effect, DEFF) se define como el cociente entre la varianza de un estimador \(\hat{\theta}\) bajo un diseño de muestreo complejo y la varianza que tendría ese mismo estimador bajo un muestreo aleatorio simple (MAS) con igual tamaño de muestra. Su estimación se expresa como:

\[\widehat{{DEFF}} = \frac{\widehat{Var}_{p}(\hat{\theta})}{\widehat{Var}_{MAS}(\hat{\theta})}\]

En donde, \(\widehat{Var}_{p}(\hat{\theta})\) corresponde a la varianza estimada de \(\hat{\theta}\) bajo el diseño complejo \(p(\cdot)\), mientras que \(\widehat{Var}_{MAS}(\hat{\theta})\) representa la varianza estimada del mismo estimador bajo un diseño MAS con igual tamaño muestral.

Este indicador permite cuantificar cuánto aumenta la varianza debido a la conglomeración y otras características propias de los diseños complejos en comparación con un muestreo simple. Según Naciones Unidas (2009, 40), el DEFF puede entenderse de tres maneras: como el factor de incremento de la varianza frente al MAS, como una medida de la pérdida relativa de precisión o como una indicación del aumento en el tamaño de la muestra que sería necesario en un diseño complejo para alcanzar el mismo nivel de varianza que en un MAS. Según Park et al. (2003), el efecto del diseño de una encuesta está supeditado a los siguientes tres factores:

  • Ponderadores desiguales: la presencia de pesos muestrales no uniformes suele incrementar ligeramente la varianza; por ello, el uso de pesos uniformes resulta ventajoso y explica por qué los diseños auto-ponderados son preferidos en las encuestas de hogares.
  • Estratificación: cuando se aplica correctamente, puede disminuir la varianza, aunque en la práctica su efecto reductor suele ser moderado.
  • Muestreo en varias etapas: generalmente incrementa la varianza, ya que las unidades dentro de un mismo conglomerado tienden a ser más homogéneas entre sí que en comparación con las de otros conglomerados.

En el análisis de encuestas, el DEFF constituye un indicador esencial para evaluar la precisión y eficiencia de las estimaciones, así como para orientar la planificación de futuros estudios. Un valor elevado evidencia que el diseño complejo introduce un incremento de la varianza, reduciendo la precisión de los resultados. Por el contrario, un valor cercano a uno indica que el diseño tiene un efecto mínimo sobre la varianza. Esta información permite a los investigadores identificar si es necesario ajustar la ponderación, optimizar la estratificación o modificar el tamaño de muestra para aumentar la eficiencia en levantamientos posteriores.

La interpretación de un DEFF elevado debe realizarse con cautela, pues no necesariamente indica que el diseño de muestreo sea inadecuado. Su magnitud debe evaluarse en función del contexto y de las condiciones operativas de la encuesta. Aunque Naciones Unidas (2005) afirma que un valor superior a 2.5 o 3 podría considerarse inicialmente preocupante, este puede responder a restricciones presupuestarias, dificultades logísticas o decisiones orientadas a facilitar la participación de los informantes.

Por ejemplo, en algunas encuestas de hogares puede ser necesario seleccionar únicamente a una fracción de las personas elegibles dentro de cada vivienda. Asimismo, los problemas de cobertura y las tasas elevadas de no respuesta pueden incrementar la variabilidad de los pesos muestrales y, por esta vía, aumentar el DEFF. Gutiérrez y Babativa-Márquez (2023) presentan un análisis detallado de los efectos del diseño en las encuestas de hogares de América Latina a partir de la información disponible en BADEHOG.

2.5 Inferencia en encuestas complejas

Tal como destacan Heeringa, West, y Berglund (2017), el cálculo de totales y medias poblacionales, junto con sus varianzas, ha sido esencial para el desarrollo de la teoría del muestreo probabilístico y la interpretación adecuada de los resultados de encuestas de hogares. La determinación de los totales poblacionales constituye uno de los pilares fundamentales del análisis de encuestas. Tanto las medias como las proporciones y las razones se derivan de estos totales. Un total se define como la suma de una variable específica (por ejemplo, ingreso o gasto) a nivel de toda la población.

En el análisis de encuestas de hogares, es habitual estimar estadísticas descriptivas como totales, medias y razones, las cuales permiten sintetizar las principales características de la población y proporcionan información relevante para la toma de decisiones y monitoreo de indicadores. En este apartado se presentan los fundamentos teóricos de la inferencia basada en el diseño de muestreo, necesarios para estimar adecuadamente los distintos parámetros de interés y evaluar la incertidumbre asociada a dichas estimaciones.

2.5.1 Estimación puntual

Una vez definidos la población objetivo, las variables de interés y el diseño muestral, se procede a estimar los parámetros poblacionales correspondientes. Para establecer la notación de libro, se utilizará la letra \(h\) para identificar los estratos; la letra \(i\) para representar las unidades primarias de muestreo (UPM) contenidas en cada estrato; y la letra \(k\) para denotar las unidades finales observadas, como hogares o personas. Además, con el propósito de simplificar la escritura a lo largo de este documento, a menos que se indique lo contrario, \(\sum_{h}\) denotará la suma sobre todos los estratos de la población; \(\sum_{i}\) representará la suma sobre todas las UPM seleccionadas en la muestra dentro del estrato \(h\); y \(\sum_{k}\) corresponderá a la suma sobre todos los elementos observados en la muestra de la UPM \(i\), perteneciente al estrato \(h\) de la población de interés. Con esta notación, el estimador de un total poblacional puede expresarse como:

\[\hat{t}_y = \sum_{h} \sum_{i} \sum_{k} w_{hik} \, y_{hik}\]

En esta expresión, \(w_{hik}\) representa el factor de expansión de la unidad \(k\), perteneciente a la UPM \(i\) del estrato \(h\), mientras que \(y_{hik}\) corresponde al valor observado de la variable de interés para esa misma unidad.

2.5.2 Estimación de la varianza

Algunos parámetros de interés pueden expresarse como combinaciones lineales de varios parámetros poblacionales. Considérese, en particular, la función:

\[f(\theta_1,\ldots,\theta_J)=\sum_{j=1}^J a_j\theta_j,\]

donde \(a_j\) son constantes conocidas y \(\theta_j\) representa el \(j\)-ésimo parámetro poblacional. Si \(\hat{\theta}_j\) es un estimador de \(\theta_j\), entonces el estimador muestral de \(f(\theta_1,\ldots,\theta_J)\) se define como:

\[\hat{f} = \sum_{j=1}^J a_j \hat{\theta}_j\]

De esta manera, su varianza puede expresarse como:

\[Var(\hat{f}) = \sum_{j=1}^J a_j^2 Var(\hat{\theta}_j) \;+\; 2\sum_{j=1}^{J-1}\sum_{k>j}^J a_j a_k \, Cov(\hat{\theta}_j,\hat{\theta}_k).\]

Este resultado es especialmente relevante, pues abarca numerosos casos de interés práctico que se desarrollarán a lo largo de este documento. No obstante, la estimación de la varianza bajo diseños de muestreo complejos puede resultar difícil, ya que depende de las características particulares de cada diseño. Para abordar esta dificultad, se han desarrollado diversos enfoques metodológicos que permiten cuantificar adecuadamente la incertidumbre y evaluar la precisión de las estimaciones. Con el apoyo de softwares estadísticos especializado, estos métodos pueden implementarse de manera eficiente y contribuir a la obtención de resultados rigurosos y confiables.

2.5.2.1 Último conglomerado

El método del último conglomerado es un enfoque ampliamente utilizado para estimar la varianza de totales en encuestas con diseños de muestreo estratificados y multietápicos. Desarrollado por Hansen et al. (1953), este método simplifica el tratamiento de las distintas etapas de selección al concentrar la estimación de la varianza en las unidades primarias de muestreo (UPM). Para su aplicación, se supone que, dentro de cada estrato, las UPM se seleccionan de manera independiente y con reemplazo, posiblemente con probabilidades desiguales. La aplicación de este método requiere disponer de estimadores insesgados del total de la variable de interés para cada UPM seleccionada. Asimismo, cuando el diseño incorpora estratificación en la primera etapa, es necesario contar con al menos dos UPM seleccionadas en cada estrato, para que sea posible estimar la variabilidad entre conglomerados dentro de este.

Considere un diseño de muestreo en múltiples etapas donde se seleccionan \(n_h\) UPM en el estrato \(h\), (\(h=1,\dots,H\)). Una estimación del total de la variable de interés en la UPM \(i\) del estrato \(h\) es:

\[\hat{t}_{y_i} = \sum_{k\in s_{hi}} w_{hik} \ y_{hik}\]

En donde \(s_{hi}\) corresponde a la muestra de unidades en la UPM \(i\) del estrato \(h\); por tanto, un estimador insesgado del total poblacional se expresaría como

\[\hat{t}_{y} = \sum_{h}\sum_{i} \hat{t}_{y_i}\]

Según el método del último conglomerado, suponiendo que \(\hat{\bar t}_{y_h}=(1/{n_h}) \sum_{i} \hat{t}_{y_i}\) es la media muestral de los totales estimados de las UPM en el estrato \(h\), un estimador aproximado de la varianza de \(\hat t_y\) se obtiene mediante al siguiente expresión:

\[\widehat{Var}(\hat{t}_y) = \sum_{h} \frac{n_h}{n_h-1} \sum_{i} (\hat{t}_{y_i} - \hat{\bar t}_{y_h})^2\]

Para más detalles, véase Hansen et al. (1953, 258) o Wolter (2007). Aunque este método se propuso originalmente para calcular varianzas de estimadores de totales, el método puede combinarse con otras técnicas para derivar varianzas de otros parámetros poblacionales más complejos. Esta flexibilidad hace que el método sea aplicable a diversos contextos de análisis de encuestas de hogares.

Aunque los métodos más sofisticados que consideran todas las etapas del diseño pueden ofrecer estimaciones de varianza ligeramente más precisas, su aplicación requiere información más detallada y mayor complejidad computacional. Por el contrario, el método del último conglomerado proporciona una aproximación confiable y eficiente, especialmente útil al estimar totales o medias en encuestas de hogares.

Un supuesto fundamental de esta técnica es que, dentro de cada estrato, las UPM se eligen de forma independiente y con reemplazo. En la práctica, la mayoría de las encuestas selecciona sus UPM sin reemplazo, generando diseños más eficientes. En consecuencia, las varianzas calculadas bajo la hipótesis de independencia constituyen aproximaciones a las verdaderas varianzas de muestreo. Cuando la fracción muestral es pequeña, dichas aproximaciones suelen ser suficientemente precisas para su utilización por parte de las oficinas nacionales de estadística o de otros analistas.

2.5.2.2 Ecuaciones de estimación y linealización de Taylor

Muchos parámetros poblacionales pueden expresarse como soluciones de ecuaciones de estimación que involucran totales poblacionales. Aunque los detalles técnicos pueden ser complejos, la idea fundamental es que los mismos principios utilizados para estimar totales pueden aplicarse también para la estimación de varianzas. Este marco general hace que el método sea sencillo y flexible, facilitando su implementación en softwares estadísticos como R. Una ecuación de estimación poblacional genérica puede expresarse de la siguiente manera:

\[\sum_{k\in U} z_k(\theta)=0,\]

donde \(z_k(\cdot)\) es una función de estimación evaluada para la unidad \(k\) y \(\theta\) representa el parámetro poblacional de interés. Estas ecuaciones proporcionan un marco general para definir y calcular diversos parámetros de la población, como totales, medias y razones. Las siguientes formulaciones muestran cómo distintos parámetros de interés pueden expresarse mediante ecuaciones de estimación que comparten una estructura común.

  • Para el total poblacional, se define \(z_k(\theta)=y_k-\theta/N\), de manera que la ecuación de estimación es \(\sum_{k\in U}(y_k-\theta/N)=0\). La solución de esta ecuación conduce a \(\theta=\sum_{k\in U} y_k = t_y\), es decir, al total poblacional.
  • De forma similar, para la media poblacional se utiliza \(z_k(\theta)=y_k-\theta\), y la ecuación \(\sum_{k\in U}(y_k-\theta)=0\) tiene como solución \(\theta=\left(\sum_{k\in U} y_k\right)/N = \bar{Y}\), correspondiente a la media de la población.

La idea de definir parámetros poblacionales como soluciones de ecuaciones de estimación conduce naturalmente a un método general para obtener los estimadores de muestreo. Bajo un diseño de muestreo probabilístico, la suma poblacional \(\sum_{k\in U} z_k(\theta)\) puede estimarse mediante su versión ponderada en la muestra. En particular, si \(w_k\) corresponde al factor de expansión de la unidad \(k\), se tiene que \(\sum_{k\in s}w_k z_k(\theta)\) es un estimador insesgado, bajo el diseño, de la ecuación poblacional. En consecuencia, el estimador de muestreo \(\hat{\theta}\) se define como la solución de la ecuación muestral ponderada

\[ \sum_{k\in s}w_k z_k(\hat{\theta})=0. \]

Bajo condiciones de regularidad, esta sustitución permite obtener estimadores consistentes de una amplia variedad de parámetros poblacionales (Binder 1983).

Asimismo, mediante la linealización de Taylor es posible aproximar un estimador no lineal por una expresión lineal cuya varianza puede calcularse con los métodos habituales para estimadores de totales. Este enfoque, introducido tempranamente para el análisis de estadísticas complejas (Woodruff 1952), constituye la base de numerosos procedimientos utilizados actualmente para estimar las varianzas de medias, razones, proporciones y otros estimadores no lineales. El procedimiento consiste en aplicar una expansión de Taylor de primer orden a la ecuación de estimación, de modo que el estimador original se sustituya por una aproximación lineal. Para un parámetro definido como la solución de una ecuación de estimación muestral, un estimador consistente de su varianza puede expresarse como:

\[ \widehat{Var}_p(\hat{\theta}) \approx [\hat{J}(\hat{\theta})]^{-1} \, \widehat{Var}_p \Bigg[\sum_{k\in s} w_k\, z_k(\hat{\theta})\Bigg] \, [\hat{J}(\hat{\theta})]^{-1} \tag{2.3}\]

donde

\[ \hat{J}(\hat{\theta}) = \sum_{k\in s} w_k \left[ \frac{\partial z_k(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\theta=\hat{\theta}} \]

Este resultado muestra cómo la linealización de Taylor convierte la estimación de varianzas de parámetros complejos en un problema de estimación de totales. Por ejemplo, para el caso de la razón poblacional \(\theta=\frac{t_y}{t_x}\) entre los totales \(t_y\) y \(t_x\), se define \(z_k(\theta)=y_k-\theta x_k\). Así, la ecuación de estimación muestral toma la siguiente forma

\[ \sum_{k \in s} w_k z_k(\theta) = \sum_{k \in s} w_k \left(y_k - \theta x_k\right) = 0 \]

La solución de esta ecuación corresponde al estimador de razón

\[ \hat{\theta} = \frac{\sum_{k \in s} w_k y_k}{\sum_{k \in s} w_k x_k} = \frac{\hat t_y}{\hat t_x} \]

Dado que la derivada de la función de estimación con respecto a \(\theta\) es \(\frac{\partial z_k(\theta)}{\partial \theta} = -x_k\), entonces \(\hat{J}(\hat{\theta}) = -\sum_{k \in s} w_k x_k = -\hat{t}_x\). Al sustituir este resultado en la expresión general (ecuación 2.3), se obtiene:

\[ \widehat{Var}_p(\hat{\theta}) \approx \frac{1}{\hat{t}_x^2} \widehat{Var}_p \left[ \sum_{k \in s} w_k \left(y_k-\hat{\theta}x_k\right) \right] \]

Esta expresión muestra que la estimación de la varianza de un estimador no lineal puede reducirse a la estimación de la varianza de un total ponderado de su variable linealizada. En consecuencia, pueden aplicarse los procedimientos habituales para estimar la varianza de totales, incorporando adecuadamente las características del diseño muestral.

2.5.2.3 Bootstrap

Como alternativa a los métodos analíticos, se desarrollaron los métodos de replicación, que generan múltiples conjuntos de pesos o réplicas de la muestra, calculan el estimador de interés en cada una de ellas y utilizan la variabilidad entre las estimaciones replicadas para aproximar la varianza del estimador original. Su principal ventaja es que pueden aplicarse de manera relativamente uniforme a una amplia variedad de parámetros, incluso cuando la derivación analítica de la varianza resulta difícil (Rust y Rao 1996; Wolter 2007).

Por ejemplo, el Bootstrap es una herramienta de replicación robusta y versátil. Originalmente introducido por Efron (1979) para datos que no provenían de encuestas, su adaptación más usada para encuestas de hogares es el Bootstrap de Reescalamiento propuesto por Rao, Wu, y Yue (1992). Este método se ajusta de manera óptima a diseños de muestreo estratificados y multietápicos, y es ampliamente empleado para la estimación de varianzas en encuestas complejas. El procedimiento consiste en generar muchas réplicas de la muestra original, simulando extracciones repetidas de la población. Cada réplica se construye mediante la creación de columnas adicionales de pesos de replicación en la base de datos, siguiendo este proceso:

  • Para cada estrato, se seleccionan aleatoriamente las UPM con reemplazo; algunas pueden repetirse y otras no aparecer. Cada UPM elegida se incorpora con todas sus observaciones. Si el tamaño de la muestra de primera etapa en el estrato \(h\) es mayor que dos (\(n_h > 2\)), el número de UPM seleccionadas por réplica es \(n_h - 1\).
  • Este proceso se repite muchas veces, habitualmente cientos, generando un gran número de réplicas. La cantidad de veces que una UPM \(i\) del estrato \(h\) aparece en la réplica \(r\) se denota \(n_{hi}^{(r)}\), variando entre 0 y \(n_h - 1\).
  • A partir de cada réplica se calculan nuevos pesos bootstrap para todas las unidades, reflejando cuántas veces fue seleccionada su UPM. El peso de la unidad \(k\) en la réplica \(r\) se calcula como: \[w_{hik}^{(r)} = w_{hik} \times \frac{n_h}{n_h - 1} \times n_{hi}^{(r)}\] Si los pesos originales incluyen ajustes por no respuesta o calibración, estos deben aplicarse también a cada conjunto de pesos bootstrap.
  • Para cada réplica \(r\), se calcula el parámetro de interés \(\hat{\theta}^{(r)}\) usando los pesos bootstrap \(w_{hik}^{(r)}\). Asumiendo que \(\tilde{\theta} = \frac{1}{R} \sum_{r=1}^{R} \hat{\theta}^{(r)}\), entonces la varianza del estimador se aproxima mediante la variabilidad entre todas las réplicas: \[\widehat{Var}_B(\hat{\theta}) = \frac{1}{R} \sum_{r=1}^{R} \left(\hat{\theta}^{(r)} - \tilde{\theta}\right)^2\]

Este enfoque asegura que la dispersión entre réplicas capture fielmente la incertidumbre del parámetro. El Bootstrap ofrece múltiples ventajas, a pesar de requerir un mayor procesamiento computacional, es eficaz para diseños de encuesta complejos y permite estimar parámetros difíciles de calcular con métodos tradicionales, como medianas u otras estadísticas no lineales. La simplicidad del método facilita su aplicación incluso sin software estadístico especializado. No obstante, su uso no es recomendable en encuestas repetidas con muestras superpuestas ni en situaciones con fracciones de muestreo grandes y tamaños de muestra pequeños (Bruch, Münnich, y Zins 2011).

2.5.3 Intervalos de confianza

Además de producir estimaciones puntuales, uno de los objetivos fundamentales de una encuesta es cuantificar la incertidumbre asociada a dichas estimaciones. En este contexto, los intervalos de confianza permiten construir un rango de valores plausibles para el parámetro poblacional de interés, incorporando explícitamente la variabilidad introducida por el diseño muestral. El intervalo de confianza de nivel \((1-\alpha)100\%\) para el total poblacional \(Y\) se calcula como:

\[\hat{\theta} \pm t_{1-\alpha/2, df} \times \sqrt{\widehat{Var}(\hat{\theta})}\]

donde \(\hat{\theta}\) corresponde al estimador por muestreo del parámetro poblacional \(\theta\); \(\widehat{Var}(\hat{\theta})\) representa el estimador de varianza bajo el diseño complejo de la encuesta; y \(t_{1-\alpha/2, df}\) es el cuantil de la distribución \(t\) de Student con \(df\) grados de libertad (Fuller 2009). En encuestas complejas, los grados de libertad suelen estar relacionados con la cantidad de unidades primarias de muestreo (UPM) y los estratos considerados en el diseño. Una aproximación común consiste en calcularlos como:

\[df = m - H\]

donde \(m\) representa el número total de UPM observadas en la muestra y \(H\) el número de estratos. Esta aproximación refleja la cantidad efectiva de información independiente disponible para estimar la variabilidad muestral. A medida que los grados de libertad aumentan, la distribución \(t\) de Student converge hacia la distribución normal estándar. Esta propiedad explica por qué muchas veces se utilizan aproximaciones normales para reportar intervalos de confianza, especialmente en encuestas de hogares de gran escala. Sin embargo, cuando el número de conglomerados es reducido o existen estratos con pocas UPM, la aproximación normal puede subestimar la incertidumbre y producir intervalos excesivamente estrechos.