5.5 Modelos de regresión en encuestas de hogares

La regresión estadística constituye una técnica fundamental para examinar los vínculos entre variables en el marco de los datos muestrales obtenidos mediante encuestas. A través de este procedimiento, es posible determinar la forma en que una o varias variables de respuesta (dependientes) se relacionan con una o varias variables explicativas (independientes). Tal como exponen Nolan y Speed (2000) y Freedman (2005), la validez de los resultados depende de una adecuada formulación del modelo.

Un ejemplo ilustrativo sería la estimación del ingreso de los hogares (variable dependiente) en función del nivel educativo alcanzado y de la situación laboral de sus miembros (variables independientes), empleando datos provenientes de encuestas de hogares. Estos análisis permiten identificar patrones, cuantificar efectos y generar evidencia útil para la formulación de políticas públicas.

No obstante, dado que estas encuestas suelen estar sustentadas en diseños muestrales complejos, los enfoques tradicionales de regresión resultan insuficientes. Ignorar los pesos muestrales, la estratificación o la conglomeración puede derivar en sesgos en los coeficientes estimados y, sobre todo, en una subestimación de sus varianzas, lo cual compromete la validez de las inferencias. Por esta razón, los modelos de regresión aplicados a encuestas deben ser modificados y ajustados para garantizar resultados representativos y robustos.

En este sentido, el análisis de datos provenientes de encuestas exige una atención detallada al diseño de muestreo. La incorporación de los pesos de la encuesta y de los ajustes correspondientes a la estratificación y a la conglomeración permite obtener inferencias válidas y precisas. Además, en algunos casos se han planteado alternativas simplificadas, como el uso de pesos normalizados o enfoques de ponderación aproximada, que buscan balancear la complejidad metodológica con la factibilidad práctica del análisis.

5.5.1 Antecedentes históricos y desarrollos metodológicos

El estudio de la regresión bajo diseños de muestreo complejos tiene una trayectoria bien documentada. De manera empírica, Kish y Frankel (1974) fueron de los primeros en discutir el impacto de estos diseños en las inferencias derivadas de modelos de regresión. Posteriormente, Fuller (1975) desarrolló un estimador de varianza apoyado en técnicas de linealización para modelos de regresión lineal múltiple con ponderación desigual, e introdujo métodos específicos para diseños estratificados y de dos etapas.

Más adelante, Sha et al. (1977) abordaron el problema de las violaciones a los supuestos clásicos de los modelos de regresión al trabajar con datos de encuestas, proponiendo alternativas de inferencia robusta para los parámetros. En paralelo, Binder (1983) se enfocó en las distribuciones muestrales de los estimadores de regresión en poblaciones finitas, definiendo procedimientos para estimar varianzas bajo esquemas complejos.

En los años siguientes, Skinner et al. (1989) ampliaron estos aportes al trabajar con estimadores de varianza para los coeficientes de regresión que contemplaban la estratificación y la conglomeración, recomendando explícitamente el uso de métodos de linealización o técnicas alternativas para la estimación de la varianza. Avanzando en la línea de tiempo, Fuller (2002) realizó un compendio de los métodos de estimación aplicables a modelos de regresión en encuestas complejas, mientras que Pfeffermann (2011) discutió enfoques más recientes, como los métodos de ponderación “q-weighted”, mostrando evidencia empírica de su utilidad.

5.5.2 Relevancia práctica

En la actualidad, los modelos de regresión bajo diseños de muestreo complejos representan una herramienta esencial para el análisis de encuestas de hogares. Estos modelos permiten ir más allá de las estadísticas descriptivas y aproximarse a explicaciones causales o predictivas, siempre que se reconozcan y se ajusten las particularidades del diseño muestral. Su correcta aplicación abre la posibilidad de analizar cómo las características sociodemográficas y económicas se asocian con distintos resultados de interés, aportando evidencia clave para la formulación de políticas públicas.

En las siguientes secciones se mostrará cómo implementar estos modelos en R, utilizando la librería survey. Se abordará la especificación del diseño muestral, la estimación de modelos lineales y logísticos, así como la obtención de errores estándar y pruebas de hipótesis ajustadas al diseño. De este modo, se integrarán los fundamentos teóricos con ejemplos prácticos en un flujo de trabajo reproducible.

Un primer paso consiste en comprender la estructura básica de los modelos de regresión. El modelo de regresión lineal simple se define como

\[ y = \beta_{0} + \beta_{1}x + \varepsilon, \]

donde \(y\) es la variable dependiente, \(x\) la variable independiente, \(\beta_{0}\) y \(\beta_{1}\) los parámetros del modelo, y \(\varepsilon\) el error aleatorio, definido como la diferencia entre el valor observado y el valor ajustado del modelo:

\[ \varepsilon = y - \hat{y} = y - (\beta_{0} + \beta_{1}x). \]

Generalizando este planteamiento, los modelos de regresión lineal múltiple incorporan varias covariables:

\[ y = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1} + \cdots + \beta_{p}x_{p} + \varepsilon, \]

lo cual puede expresarse en notación matricial como

\[ y_{i} = x_{i}\boldsymbol{\beta} + \varepsilon_{i}, \quad i=1,\ldots,n, \]

donde \(x_{i} = [1, x_{1i}, \ldots, x_{pi}]\) corresponde al vector de covariables del individuo \(i\), y \(\boldsymbol{\beta}^{T} = [\beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{p}]\) es el vector de parámetros.

En este contexto, el valor esperado de la variable respuesta condicionado a las covariables puede escribirse como:

\[ E(y \mid x) = \hat{\beta}_{0} + \hat{\beta}_{1}x_{1} + \cdots + \hat{\beta}_{p}x_{p}. \]

Para que estos modelos sean válidos, es necesario que se cumplan ciertos supuestos clásicos, recogidos en la literatura (Heeringa, West y Berglund, 2017), entre los que destacan:

• Esperanza nula de los residuos: \(E(\varepsilon_{i} \mid x_{i}) = 0\).
• Homogeneidad de varianza: \(Var(\varepsilon_{i} \mid x_{i}) = \sigma^2\).
• Normalidad de los errores: \(\varepsilon_{i} \mid x_{i} \sim N(0,\sigma^2)\).
• Independencia de los residuos: \(cov(\varepsilon_{i},\varepsilon_{j}\mid x_{i},x_{j})=0\).

Estos supuestos permiten garantizar que los estimadores obtenidos tengan buenas propiedades estadísticas (insesgamiento, eficiencia y consistencia). Sin embargo, al trabajar con encuestas bajo diseños complejos, estas condiciones rara vez se cumplen de manera estricta, por lo que se requieren adaptaciones que serán abordadas en las próximas secciones.

Una vez definido el modelo de regresión lineal y sus supuestos, se puede deducir los siguiente:

\[ \hat{y} = E\left(y\mid x\right) = E\left(\boldsymbol{x}\boldsymbol{\beta}\right)+E\left(\varepsilon\right) = \boldsymbol{x}\boldsymbol{\beta}+0 = \beta_{0}+\beta_{1}x_{1}+\cdots+\beta_{p}x_{p} \]

y Adicionalmente,

\[ var\left(y_{i}\mid x_{i}\right) = \sigma_{y,x}^{2} \]

\[ cov\left(y_{i},y_{j}\mid x_{i},x_{j}\right) = 0 \]

\[ y_{i} \sim N\left(x_{i}\boldsymbol{\beta},\sigma_{y,x}^{2}\right) \]

5.5.3 ¿Aplicar o no aplicar ponderaciones?

Heeringa, West y Berglund (2017) examinan el desafío de determinar cómo utilizar adecuadamente los pesos en modelos de regresión y si conviene emplear factores de expansión al estimar coeficientes de regresión en encuestas con diseños complejos. En este marco, se distinguen dos enfoques principales para incorporar los pesos en los modelos:

• Enfoque orientado al diseño: busca realizar inferencias válidas sobre la población total. Los pesos de la encuesta resultan indispensables para obtener estimaciones insesgadas de los coeficientes, ya que corrigen las probabilidades desiguales de selección derivadas del diseño muestral. No obstante, este método no protege frente a la mala especificación del modelo: si la relación planteada no refleja adecuadamente lo que ocurre en la población, los coeficientes estimados, aunque insesgados en el marco del diseño, pueden carecer de utilidad sustantiva.

• Enfoque orientado al modelo: sostiene que los pesos no son necesarios siempre que el modelo esté correctamente formulado y el muestreo sea no informativo, es decir, que el modelo válido para la muestra coincida con el de la población. En este escenario, se asume que las relaciones entre variables están bien descritas por el modelo independientemente del diseño muestral, y que la utilización de ponderaciones podría incrementar innecesariamente la variabilidad de las estimaciones, elevando los errores estándar.

La decisión entre utilizar o no ponderaciones en los modelos de regresión depende tanto del contexto como de la sensibilidad de los resultados a su inclusión. Autores como Skinner, Holt y Smith (1989) y Pfeffermann (2011) han debatido ampliamente sobre la pertinencia de incorporar los pesos muestrales en la estimación de los parámetros de regresión y en sus errores estándar.

Una recomendación metodológica ampliamente aceptada es estimar los modelos con y sin ponderaciones y comparar los resultados. Si al incluir los pesos se observan variaciones significativas en los coeficientes o en las conclusiones, ello indica que el muestreo fue informativo o que el modelo presenta deficiencias de especificación, por lo que conviene utilizar estimaciones ponderadas. En cambio, si los pesos solo aumentan los errores estándar sin modificar sustancialmente los coeficientes, se puede asumir que el modelo está bien planteado y que no es indispensable ponderar.

En términos prácticos, la decisión puede resumirse en dos escenarios:

• Inferencia descriptiva: es obligatorio aplicar ponderaciones, ya que el objetivo es reflejar con precisión la estructura de la población.

• Inferencia analítica: es posible recurrir a modelos no ponderados o ajustados por pesos. En este caso, si la meta es analizar relaciones o verificar hipótesis, la ponderación no siempre es necesaria, especialmente cuando el modelo incluye variables del diseño muestral (estratos o conglomerados). Sin embargo, el uso de modelos sin ponderar debe justificarse de forma explícita, pues implica supuestos más restrictivos que los modelos ponderados.

El uso de ponderaciones en encuestas permite asegurar que los modelos de regresión sean representativos de la población, ya que corrigen posibles sesgos de sobre o subrepresentación de determinados grupos y garantizan que la distribución poblacional se refleje adecuadamente. Asimismo, las ponderaciones contribuyen a obtener estimaciones de varianza más exactas, pues consideran la estratificación, el agrupamiento y las probabilidades desiguales de selección, lo cual genera errores estándar, intervalos de confianza y pruebas estadísticas más confiables.

Dentro del enfoque basado en el diseño, los coeficientes de regresión se estiman a partir de ecuaciones poblacionales ajustadas con ponderaciones. Esto permite que los resultados ponderados se aproximen a valores insesgados comparables a los que se obtendrían en un censo completo, incluso cuando el modelo estadístico no esté formulado de manera óptima.

Un aspecto que no debe pasarse por alto es que el uso de ponderaciones puede aumentar la varianza de las estimaciones de los parámetros, en especial cuando los pesos presentan gran dispersión. En situaciones donde existen valores extremos o muy variables, las estimaciones tienden a volverse inestables, ya que ciertas observaciones llegan a ejercer una influencia desproporcionada sobre el ajuste del modelo. En este sentido, cuando el propósito es explicativo o analítico (como en el análisis de relaciones entre variables), los modelos sin ponderar pueden, en ocasiones, generar resultados más consistentes y eficientes.

No obstante, cuando el modelo está mal especificado, la regresión sin ponderaciones puede producir estimaciones poco útiles o carentes de validez. Por ello, resulta fundamental que los analistas seleccionen e incorporen las variables pertinentes para lograr una especificación adecuada. Incluso en los casos en que el modelo esté correctamente definido, es indispensable tener en cuenta la estratificación y la conglomeración del diseño muestral al calcular los errores estándar bajo un enfoque no ponderado.

En definitiva, la decisión sobre aplicar o no ponderaciones no puede basarse únicamente en una regla rígida, sino que exige un análisis crítico de los objetivos del estudio, del diseño de la encuesta y de la robustez de los modelos estimados. Asimismo, un análisis diagnóstico riguroso resulta esencial para validar las inferencias y garantizar que los resultados reflejen de manera adecuada la realidad poblacional (véase la Subsección 9.6.4).

5.5.4 Enfoques inferenciales para el análisis de datos

En el análisis de encuestas, uno de los principales retos consiste en manejar adecuadamente la variabilidad de los datos. Esta proviene de dos fuentes fundamentales: el diseño muestral, que determina cómo se recolecta la información, y el modelo estadístico, que define cómo se interpreta dicha información para inferir propiedades de la población. Ignorar cualquiera de estas dimensiones puede comprometer la validez de los resultados.

Por ello, se han desarrollado metodologías inferenciales avanzadas que permiten integrar ambas fuentes de incertidumbre en un mismo marco analítico. Estas técnicas buscan reflejar tanto la estructura del diseño como los supuestos y limitaciones del modelo. Entre las aproximaciones más relevantes se encuentran la seudo-verosimilitud (Molina & Skinner, 1992) y la inferencia combinada (Binder, 2011).

El método de seudo-verosimilitud extiende las técnicas tradicionales de máxima verosimilitud para ajustarlas a las particularidades de los diseños muestrales complejos. En este enfoque, la distribución de muestreo definida por el diseño tiene un rol central, mientras que la distribución del modelo ocupa un lugar secundario. Si bien, en contextos de modelos bien especificados, los estimadores basados en seudo-verosimilitud tienden a ser insesgados o consistentes, lo crucial es que este procedimiento evita sesgos que se originarían si se ignorara el diseño muestral. En términos prácticos, la seudo-verosimilitud traduce el modelo tradicional en uno que respete la forma en que los datos fueron obtenidos, garantizando inferencias más sólidas.

En contraste, la inferencia combinada propone un marco unificado en el que se integran simultáneamente la variabilidad del muestreo y la incertidumbre del modelo. Al considerar ambas fuentes, este enfoque ofrece una visión más completa de la variabilidad y permite obtener estimaciones más precisas y confiables. Su principal aporte radica en que evita sesgos que pueden aparecer cuando se analiza únicamente desde la perspectiva del diseño o del modelo. De esta manera, la inferencia combinada resulta especialmente útil en aplicaciones donde se requiere un balance entre representatividad poblacional y solidez estadística de los modelos ajustados.