2.7 Muestreo aleatorio simple en dos etapas estratificado

Con la finalidad de mantener un equilibrio entre los costos económicos y las propiedades estadísticas de la estrategia de muestreo se puede aprovechar la homogeneidad dentro de los conglomerados y, así, no tener que realizar censos dentro de cada Unidad Primaria de Muestreo (UPM) sino, proceder a seleccionar una sub-muestra dentro del conglomerado seleccionado.

Los diseños de muestreo en las encuestas de hogares se caracterizan por ser diseños complejos los cuales involucran, entre otras, más de una etapa en la selección de las unidades de observación, estratos y estimadores complejos. En su mayoría, las unidades primarias de muestreo son seleccionadas dentro de los estrato. Ahora bien, según la teoría de muestreo (Cochran, W. G., 1977) se asume que el muestreo en cada estrato respeta el principio de la independencia. Esto es, las estimaciones del total, así como el cálculo y estimación de la varianza son el resultado de añadir o sumar para cada estrato la respectiva cantidad. Dentro de cada estrato \(U_h\) con \(h=1,\ldots, H\) existen \(N_{Ih}\) unidades primarias de muestreo, de las cuales se selecciona una muestra \(s_{Ih}\) de tamaño \(n_{Ih}\) mediante un diseño de muestreo aleatorio simple. Suponga, además que el sub-muestreo dentro de cada unidad primaria seleccionada es también aleatorio simple. En este sentido, para cada unidad primaria de muestreo seleccionada \(i\in s_{Ih}\) de tamaño \(N_i\) se selecciona una muestra \(s_i\) de elementos de tamaño \(n_i\).

Como es ampliamente conocido, el proceso de estimación de un parámetro particular, por ejemplo, la media de los ingresos consiste en multiplicar la observación obtenida en la muestra por su respectivo factor de expansión y dividirlo sobre la suma de los factores de expansión de acuerdo con el nivel de desagregación que se quiera estimar. Sin embargo, cuando el diseño es complejo como es el caso de las encuestas de hogares, la estimación de la varianza se torna un poco difícil de realizar utilizando ecuaciones cerradas. Para estos casos y como lo recomienda la literatura especializada (Hansen, M. H., & Steinberg, J., 1956)), se procede a utilizar la técnica del último conglomerado. Esta técnica consiste en aproximar la varianza sólo teniendo en cuenta la varianza de los estimadores en la primera etapa. Para esto se debe suponer que el diseño de muestreo fue realizado con reemplazo.

Para poder utilizar los principios de estimación del último conglomerado en las encuestas de hogares se definen las siguientes cantidades:

  1. \(d_{I_i} = \dfrac{N_{Ih}}{n_{Ih}}\), que es el factor de expansión de la \(i\)-ésima UPM en el estrato \(h\).

  2. \(d_{k|i} = \dfrac{N_{i}}{n_{i}}\), que es el factor de expansión del \(k\)-ésimo hogar para la \(i\)-ésima UPM.

  3. \(d_k = d_{I_i} \times d_{k|i} = \dfrac{N_{Ih}}{n_{Ih}} \times \dfrac{N_{i}}{n_{i}}\), que es el factor de expansión final del \(k\)-ésimo elemento para toda la población \(U\).