4.8 Estimando contrastes en encuestas de hogares
En muchas ocasiones, en encuestas de hogares se requiere comparar más de dos poblaciones al mismo tiempo, por ejemplo, comparar los ingresos medios de los hogares en 3 regiones o municipalidades en la postpandemia con el fin de verificar y sectorizar aquellas municipalidades o regiones donde más impacto en el desempleo y falta de ingresos tuvo el Covid-19 en los hogares. En casos como estos la diferencia de media que estudiamos en capítulos anteriores se queda corta dado que permite solo comprar parejas de poblaciones y por ende que, hacer contraste resulta una muy buena alternativa para abordar este tipo de problemas.
Recurriendo en las definiciones que se han trabajado en este capítulo, un contraste es una combinación lineal de parámetros de la forma:
\[\begin{eqnarray*} f\left(\theta_{1},\theta_{2},...,\theta_{j}\right) & = & \sum_{j=1}^{J}a_{j}\theta_{j} \end{eqnarray*}\]
Una estimación de esta función está dada por:
\[\begin{eqnarray*} f\left(\hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2},...,\hat{\theta}_{j}\right) & = & \sum_{j=1}^{J}a_{j}\hat{\theta}_{j} \end{eqnarray*}\]
cuya varianza del estimador se calcula como sigue:
\[\begin{eqnarray*} var\left(\sum_{j=1}^{J}a_{j}\hat{\theta}_{j}\right) & = & \sum_{j=1}^{J}a_{j}^{2}var\left(\hat{\theta}_{j}\right)+2\times\sum_{j=1}^{J-1}\sum_{k>j}^{J}a_{j}a_{k}\,cov\left(\hat{\theta}_{j},\hat{\theta}_{k}\right) \end{eqnarray*}\]
Los procedimientos metodológicos para implementar los contrastes en diseños de muestreo complejos están desarrolladas en la función svycontrast. A continuación, se muestra el uso de dicha función para el cálculo de contraste en la base de datos de ejemplo, comparando el promedio de ingresos por región.
Como primer ejemplo, se realizará la comparación de dos poblaciones, las regiones Norte y Sur (\(\bar{Y}_{Norte} - \bar{Y}_{Sur}\)) y luego sí se compararán todas las regiones.
Puesto que esto es un contraste en donde hay 5 regiones y solo se construirá el contraste para la región Norte y la Sur, el contraste queda definido de la siguiente manera:
\[\begin{eqnarray*} & 1\times\hat{\bar{Y}}_{Norte}+\left(-1\right)\times\hat{\bar{Y}}_{Sur}+0\times\hat{\bar{Y}}_{Centro}+0\times\hat{\bar{Y}}_{Occidente}+0\times\hat{\bar{Y}}_{Oriente} \end{eqnarray*}\]
que de forma matricial queda de la siguiente manera:
\[\begin{eqnarray*} & \left[1,\,-1,\,0,\,0,\,0\right]\times\left[\begin{array}{c} \hat{\bar{Y}}_{Norte}\\ \hat{\bar{Y}}_{Sur}\\ \hat{\bar{Y}}_{Centro}\\ \hat{\bar{Y}}_{Occidente}\\ \hat{\bar{Y}}_{Oriente} \end{array}\right] \end{eqnarray*}\]
Como se puede observar, en este caso el vector de contraste es \(\left[1,\,-1,\,0,\,0,\,0\right]\).
Ahora bien, para realizar el procesos de la construcción del estimador del contraste y su varianza estimada paso a paso se inicia con calcular las medias estimadas por región con la función svyby como se muestra a continuación:
prom_region <- svyby(formula = ~Income,
by = ~Region,
design = diseno,
FUN = svymean,
na.rm=T,
covmat = TRUE,
vartype = c("se", "ci"))
prom_region## Region Income se ci_l ci_u
## Norte Norte 552.3637 55.35987 443.8603 660.8670
## Sur Sur 625.7740 62.40574 503.4610 748.0870
## Centro Centro 650.7820 61.46886 530.3053 771.2588
## Occidente Occidente 517.0071 46.22077 426.4161 607.5982
## Oriente Oriente 541.7543 71.66487 401.2938 682.2149La función svyby permite aplicar una función, en este caso la media (svymean) por región (by) utilizando el diseño muestral empleado (design). Las demás componentes de la función ya se han utilizado previamente. Como resultado de aplicar esta función se obtienen las medias estimadas de los ingresos por región. Se tomarán solo los ingresos medios estimados de las regiones Norte y Sur y calcularemos su diferencia:
# Paso 1: diferencia de estimaciones (Norte - Sur)
552.4 - 625.8## [1] -73.4El paso siguiente es calcular la matriz de varianzas y covarianzas y de allí extraer las varianzas y covarianzas de las regiones Norte y Sur:
# Paso 2: Matriz de varianzas y covarianzas
vcov(prom_region)## Norte Sur Centro Occidente Oriente
## Norte 3064.715 0.000 0.00 0.000 0.000
## Sur 0.000 3894.476 0.00 0.000 0.000
## Centro 0.000 0.000 3778.42 0.000 0.000
## Occidente 0.000 0.000 0.00 2136.359 0.000
## Oriente 0.000 0.000 0.00 0.000 5135.854Para calcular el error estándar de la diferencia (contraste) se usará las propiedades de la varianza como es \(se\left(\hat{\bar{y}}_{Norte}-\hat{\bar{y}}_{Sur}\right)=\sqrt{var\left(\hat{\bar{y}}_{Norte}\right)+var\left(\hat{\bar{y}}_{Sur}\right)-2\,cov\left(\hat{\bar{y}}_{Norte},\hat{\bar{y}}_{Sur}\right)}\) tenemos:
sqrt(3065 + 3894 - 2*0)## [1] 83.42062Finalmente, la función svycontrast nos devuelve el contraste estimado y su error estándar. Los argumentos de esta función son los promedios de los ingresos estimados (stat) y las constantes de contraste (contrasts).
svycontrast(stat = prom_region,
contrasts = list(diff_NS = c(1, -1, 0, 0, 0))) %>%
data.frame()## contrast diff_NS
## diff_NS -73.41034 83.42176Obteniendo como resultado que los ingresos medios estimados para la región Sur es 73.4 unidades monetarias mayor que los ingresos en la región Norte con un error estándar de 83.42 unidades.
Ahora bien, si el objetivo es estimar los siguientes contrastes:
- \(\bar{Y}_{Norte} - \bar{Y}_{Centro}\),
- \(\bar{Y}_{Sur}-\bar{Y}_{Centro}\)
- \(\bar{Y}_{Occidente}-\bar{Y}_{Oriente}\)
Que escritas de forma matricial se tiene:
\[ \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \]
Ahora, aplicando la función svycontrast en R se obtiene:
svycontrast(stat = prom_region,
contrasts = list(
Norte_sur = c(1, 0, -1, 0, 0),
Sur_centro = c(0, 1, -1, 0, 0),
Occidente_Oriente = c(0, 0, 0, 1, -1))) %>% data.frame()## contrast SE
## Norte_sur -98.41834 82.72324
## Sur_centro -25.00800 87.59507
## Occidente_Oriente -24.74720 85.27727De lo cual se puede concluir que, las regiones con los ingresos medios de los hogares más similares son la región sur y la región centro.
También es posible construir contraste en variables que estén correlacionadas. Por ejemplo, Ingreso y Sexo. Como se hizo en el ejemplo anterior, se inicia con el promedio estimado por sexo.
prom_sexo <- svyby(formula = ~Income,
by = ~Sex,
design = diseno,
FUN = svymean,
na.rm=T,
covmat = TRUE,
vartype = c("se", "ci"))
prom_sexo## Sex Income se ci_l ci_u
## Female Female 557.5681 25.82995 506.9423 608.1939
## Male Male 585.8496 34.58759 518.0592 653.6400El contraste a estimar es:
\[ \bar{Y}_{F} - \bar{Y}_{M}\]
Por tanto, usando la función svycontrast se obtiene el contraste estimado:
svycontrast(stat = prom_sexo,
contrasts = list(diff_Sexo = c(1, -1))) %>%
data.frame()## contrast diff_Sexo
## diff_Sexo -28.28149 20.75651Obteniendo como resultado que, en promedio, los hombres obtienen 28.3 unidades monetarias más que las mujeres con una desviación de 20.76.
Otra posibilidad es poder obtener resultados agregados, por ejemplo:
\(\hat{\bar{y}}_{Norte}+\hat{\bar{y}}_{Sur} +\hat{\bar{y}}_{Centro}\)
sum_region <- svyby( ~ Income, ~ Region,
diseno, svytotal, na.rm = T,
covmat = TRUE,
vartype = c("se", "ci"))
sum_region## Region Income se ci_l ci_u
## Norte Norte 14277323 1507575 11322530 17232115
## Sur Sur 16068151 1877989 12387359 19748942
## Centro Centro 16483319 2383556 11811634 21155003
## Occidente Occidente 16853540 1823807 13278944 20428135
## Oriente Oriente 22111335 2833460 16557856 27664814La matriz de contraste queda como: \[ \left[\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \] el procedimiento en R es:
svycontrast(stat = sum_region,
contrasts = list(
Agregado_NCS = c(1, 1, 1, 0, 0))) %>% data.frame()## contrast Agregado_NCS
## Agregado_NCS 46828792 3388357Por otro lado, si se desean obtener los promedios por categorías. Por ejemplo:
\[ \hat{\bar{y}}_{Edad} = \frac{1}{k}\sum_{k=1}^K\hat{\bar{y}}_{k} \] donde \(K\) es el número de categorías de la variable. En R se hace de la siguiente manera:
prom_edad <- svyby(formula = ~Income,
by = ~CatAge,
design = diseno,
FUN = svymean,
na.rm=T,
covmat = TRUE)
prom_edad## CatAge Income se
## 0-5 0-5 463.7715 28.86795
## 6-15 6-15 511.6179 34.88031
## 16-30 16-30 607.2917 37.41561
## 31-45 31-45 573.4167 26.94744
## 46-60 46-60 763.0610 58.97170
## Más de 60 Más de 60 466.6133 31.20795Cuya matriz de contraste estaría dada por: \[ \left[\begin{array}{cccccc} \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array}\right] \]
El procedimiento en R es:
svycontrast(stat = prom_edad,
contrasts = list(
agregado_edad = c(1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6))) %>% data.frame()## contrast agregado_edad
## agregado_edad 564.2954 25.40408Puesto que los contrastes, como ya se mencionó, es una función lineal de parámetros, se puede también realizar contraste con parámetros tipo razón. Por ejemplo, la relación de gastos contra ingresos por sexo. A continuación, se muestran los códigos computacionales:
razon_sexo <- svyby( formula = ~Income,
by = ~Sex,
denominator = ~Expenditure,
design = diseno,
FUN = svyratio,
na.rm=T, covmat = TRUE,
vartype = c("se", "ci"))
razon_sexo## Sex Income/Expenditure se.Income/Expenditure ci_l ci_u
## Female Female 1.519060 0.04582607 1.429243 1.608878
## Male Male 1.564762 0.07044239 1.426698 1.702827Cuya estimación de contraste sería:
svycontrast(stat = razon_sexo,
contrasts = list(
diff_sexo = c(1, -1))) %>% data.frame()## contrast diff_sexo
## diff_sexo -0.04570214 0.04163431de lo que se puede concluir que la diferencia de las proporciones es 0.045 en favor de los hombres.