4.3 Estimación de totales, medias y razones
Al trabajar con encuestas de hogares, el análisis de datos numéricos implica con frecuencia calcular estadísticas descriptivas como medias, totales y razones, ya que estas permiten sintetizar las principales características de la población y sirven de base para la toma de decisiones. Dichas estimaciones pueden calcularse para la población en su conjunto o para subgrupos específicos, según los objetivos de la investigación. Tal como destacan Heeringa, West y Berglund (2017), el cálculo de totales y medias poblacionales, junto con sus varianzas, ha sido esencial para el desarrollo de la teoría del muestreo probabilístico y la interpretación adecuada de los resultados de encuestas de hogares.
4.3.1 Estimación puntual
Una vez exploradas las tendencias de las variables continuas mediante análisis gráfico, el siguiente paso consiste en obtener las estimaciones puntuales de los parámetros medidos. Estas estimaciones pueden calcularse de forma general o desagregada por niveles de análisis, dependiendo de las necesidades de la investigación. En el contexto de encuestas de hogares, las estimaciones puntuales comprenden el cálculo de totales, promedios, razones y otras medidas agregadas.
Heeringa et al. (2017) señalan que la estimación del total o promedio de una población y su varianza muestral es fundamental en la teoría del muestreo probabilístico, ya que permite obtener valores precisos sobre la situación de los hogares estudiados, facilitando la toma de decisiones informadas en políticas públicas.
4.3.2 Estimación de totales e intervalos de confianza
Una vez definido el diseño muestral (como se hizo en la sección anterior), se procede a realizar los procesos de estimación de los parámetros de interés. Para efectos de este texto, se iniciará con la estimación del total de los ingresos de los hogares.
En su mayoría, los paquetes estadísticos actuales no implementan técnicas avanzadas como estimadores generales de regresión (GREG) o métodos de calibración. Sin embargo, Valliant et al. (2000) desarrollaron una librería en S-plus que permite realizar estos procedimientos de estimación, los cuales también pueden implementarse en R (Valliant et al., 2013).
Para la estimación de totales con diseños muestrales complejos que incluyen estratificación (\(h=1,2,...,H\)) y muestreo por conglomerados (cuyos conglomerados están dentro del estrato \(h\), indexados por \(\alpha=1,2,...,a\_h\)), el estimador del total se puede expresar como:
\[ \hat{Y}_{\omega} = \sum_{h=1}^{H}\sum_{\alpha=1}^{a_h}\sum_{i=1}^{n_{h\alpha}}\omega_{h\alpha i} y_{h\alpha i} \]
El estimador insesgado de la varianza para este total es:
\[ \text{var}\left(\hat{Y}_{\omega}\right) = \sum_{h=1}^{H} \frac{a_h}{a_h - 1} \left[ \sum_{\alpha=1}^{a_h} \left( \sum_{i=1}^{n_{h\alpha}} \omega_{h\alpha i} y_{h\alpha i} \right)^2 - \frac{\left( \sum_{\alpha=1}^{a_h} \omega_{h\alpha i} y_{h\alpha i} \right)^2}{a_h} \right] \]
La determinación de los totales poblacionales constituye uno de los pilares del análisis de encuestas. Tanto las medias como las proporciones y las razones derivan de los totales. Un total se define como la suma de una variable específica (por ejemplo, ingreso o gasto) a nivel de toda la población. Para estimar el ingreso total de todos los hogares de un país, se combinan los datos de la muestra aplicando los pesos muestrales que reflejan el diseño y aseguran representatividad.
En el caso de variables numéricas simples, las estimaciones básicas son los totales y medias, mientras que las razones permiten establecer comparaciones entre dos variables numéricas. Estos cálculos pueden realizarse para toda la población o de manera desagregada por dominios de estudio, dependiendo de las preguntas de investigación.
Para encuestas con estratificación (\(h=1,2,...,H\)) y submuestreo en las UPM (ubicadas dentro de cada estrato \(h\), identificadas por \(i\)), el total poblacional se estima mediante:
\[ \hat{Y} = \sum_{h=1}^{H} \sum_{i \in s_{1h}} \sum_{k \in s_{hi}} w_{hik} \, y_{hik} \]
Cuando se cuenta con respuesta completa, la varianza de \(\hat{Y}\) puede calcularse usando el estimador de Ultimate Cluster.
El intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) para el total poblacional \(Y\) se calcula como:
\[ \hat{Y} \pm t_{1-\alpha/2, df} \times \sqrt{\hat{V}_{UC}(\hat{Y})} \]
A medida que los grados de libertad aumentan, la distribución \(t\) de Student tiende a la normal, lo que explica por qué muchas Oficinas Nacionales de Estadística (ONE) utilizan esta aproximación para reportar intervalos de confianza. No obstante, es importante considerar que esta aproximación puede ser menos fiable cuando el tamaño de la muestra es reducido, aunque suele ofrecer buenos resultados en encuestas de hogares extensas.
Como se puede observar, calcular la estimación del total y su varianza estimada es complejo.
4.3.2.1 Enfoques para la estimación de la varianza
Tal como se mencionó anteriormente, al trabajar con encuestas de hogares es fundamental proporcionar no solo estimaciones puntuales, sino también cuantificar la incertidumbre asociada a dichas estimaciones. Comprender y estimar esta incertidumbre constituye una parte crítica del análisis de los datos provenientes de encuestas de hogares. Mediante la aplicación de métodos apropiados, los usuarios pueden medir la precisión de sus estimaciones.
Existen diversos métodos para estimar dicha precisión y, con el apoyo de software moderno, estos enfoques pueden implementarse de manera eficiente para respaldar análisis rigurosos y significativos. Entre los principales métodos se encuentran:
Ecuaciones de estimación: ofrecen un marco flexible para estimar totales, medias, razones y otros parámetros, así como sus varianzas correspondientes, integrando una idea unificadora de la teoría de muestreo (Binder, 1983).
Linealización de Taylor: consiste en aproximar estadísticas no lineales complejas mediante expresiones lineales y posteriormente estimar la varianza de esta cantidad aproximada.
Método del Clúster Último: utilizado con frecuencia en encuestas que emplean muestreo estratificado en múltiples etapas; se basa en calcular la varianza a partir de las diferencias entre las estimaciones obtenidas a nivel de las unidades primarias de muestreo (PSU). Suele combinarse con la Linealización de Taylor para estimar la varianza de estadísticas no lineales, como medias o razones.
Bootstrap y otros métodos de replicación: se fundamentan en tomar repetidas submuestras del conjunto de datos observado, calcular estimaciones para cada réplica y luego utilizar la variabilidad entre estas estimaciones replicadas para inferir la varianza del estimador principal.
Ecuaciones de estimación y linealización de Taylor
Como se mencionó en el apartado anterior, uno de los enfoques más utilizados para cuantificar la incertidumbre en encuestas de hogares se basa en la formulación de ecuaciones de estimación y en la aplicación de la linealización de Taylor. Estos métodos proporcionan un marco general que permite definir los parámetros de interés, obtener sus estimadores muestrales y, a partir de ellos, aproximar sus varianzas.
Muchos parámetros poblacionales pueden expresarse como soluciones de ecuaciones de estimación que involucran totales poblacionales. Aunque los detalles técnicos pueden ser complejos, la idea fundamental es que los mismos principios utilizados para estimar totales pueden aplicarse también para la estimación de varianzas. Este marco general hace que el método sea sencillo y versátil, permitiendo una implementación eficiente en software especializado.
Una ecuación de estimación poblacional genérica se expresa como:
\[ \sum_{k\in U} z_k(\theta)=0, \]
donde \(z_k(\cdot)\) es una función de estimación evaluada para la unidad \(k\) y \(\theta\) representa el parámetro poblacional de interés. Estas ecuaciones proporcionan un marco general para definir y calcular diversos parámetros de la población, como totales, medias y razones.
Para el total poblacional: \(z_k(\theta)=y_k-\theta/N\). La ecuación de estimación es \(\sum_{k\in U}(y_k-\theta/N)=0\), cuya solución es \(\theta=\sum_{k\in U} y_k = Y\).
Para la media poblacional: \(z_k(\theta)=y_k-\theta\). La ecuación es \(\sum_{k\in U}(y_k-\theta)=0\), cuya solución es \(\theta=\left(\sum_{k\in U} y_k\right)/N = \overline{Y}\).
Para razones de totales: \(z_k(\theta)=y_k-\theta x_k\). La ecuación \(\sum_{k\in U}(y_k-\theta x_k)=0\) conduce a la razón poblacional \(\theta=\dfrac{\sum_{k\in U} y_k}{\sum_{k\in U} x_k} = R\).
La idea de definir parámetros poblacionales como soluciones de ecuaciones de estimación a nivel de población conduce naturalmente a un método general para obtener los estimadores muestrales. En este caso, se utilizan ecuaciones de la forma:
\[ \sum_{k\in s} d_k\, z_k(\theta)=0, \]
donde \(d_k\) son los pesos de diseño y \(z_k(\theta)\) la función de estimación evaluada para cada unidad de la muestra. Bajo un muestreo probabilístico y asumiendo respuesta completa, la suma muestral \(\sum_{k\in s} d_k\, z_k(\theta)\) es insesgada respecto a su análoga poblacional, lo que garantiza que las soluciones de estas ecuaciones sean estimadores consistentes de los parámetros poblacionales.
La linealización de Taylor constituye un complemento natural a este marco, ya que permite aproximar la varianza de estimadores no lineales. El procedimiento consiste en aplicar una expansión de Taylor de primer orden alrededor del parámetro estimado, con el fin de reemplazar el estimador no lineal por una expresión lineal. De esta manera, se facilita el cálculo de varianzas en situaciones donde no existen fórmulas exactas o su derivación resulta demasiado compleja.
Un estimador consistente de la varianza, derivado mediante linealización de Taylor para soluciones de ecuaciones de estimación muestrales, puede expresarse como:
\[ \hat{V}_{TL}(\hat{\theta}) = [\hat{J}(\hat{\theta})]^{-1} \, \hat{V}_p \Bigg[\sum_{k\in s} d_k\, z_k(\hat{\theta})\Bigg] \, [\hat{J}(\hat{\theta})]^{-1} \]
donde \(\hat{J}(\hat{\theta}) = \sum_{k\in s} d_k \left[ \frac{\partial z_k(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\theta=\hat{\theta}}\).
Este resultado muestra cómo la linealización de Taylor convierte la estimación de varianzas de parámetros complejos en un problema de estimación de totales, lo que explica su amplia adopción en software especializado para el análisis de encuestas.
Ultimate Cluster
El método del Ultimate Cluster constituye un enfoque directo y robusto para estimar la varianza de totales en encuestas que emplean diseños de muestreo por conglomerados estratificados en múltiples etapas. Propuesto por Hansen, Hurwitz y Madow (1953), este método simplifica la complejidad de los diseños multinivel al centrarse únicamente en la variación entre las Unidades Primarias de Muestreo (PSU). Se asume que, dentro de cada estrato de muestreo, las PSU fueron seleccionadas de manera independiente con reemplazo (posiblemente con probabilidades desiguales), aunque en la práctica la selección suele realizarse sin reemplazo.
El método se basa en la variación entre las estadísticas calculadas a nivel de PSU. Cuando se aplica correctamente, refleja implícitamente cualquier submuestreo realizado dentro de las PSU, permitiendo estimaciones de varianza más simples pero confiables. Es especialmente útil en diseños complejos que incluyen estratificación y probabilidades desiguales de selección tanto de PSU como de unidades de niveles inferiores (hogares e individuos).
Los requisitos para aplicar este método son:
- Disponibilidad de estimaciones insesgadas de totales para las variables de interés en cada PSU muestreada.
- Al menos dos PSU muestreadas por estrato, si la muestra se estratifica en la primera etapa.
- Información completa sobre PSU, estratos y pesos en el conjunto de datos de la encuesta.
Considere un diseño de muestreo en múltiples etapas donde se seleccionan \(n_h\) PSU en el estrato \(h\), \(h=1,\dots,H\). Sea
\[ \hat{Y}_{hi} = \sum_{k\in s_{hi}} d_{hik} y_{hik} \]
una estimación del total poblacional \(Y_{hi}\) de la PSU \(i\) en el estrato \(h\). Un estimador insesgado del total poblacional \(Y = \sum_{h=1}^H \sum_{i \in U_{1h}} Y_{hi}\) se expresa como
\[ \hat{Y}_{UC} = \sum_{h=1}^H \hat{Y}_h, \quad \text{donde} \quad \hat{Y}_h = \frac{1}{n_h} \sum_{i\in s_{1h}} \hat{Y}_{hi}. \]
El estimador Ultimate Cluster de la varianza correspondiente se calcula mediante:
\[ \hat{V}_{UC}(\hat{Y}) = \sum_{h=1}^H \frac{n_h}{n_h-1} \sum_{i \in s_{1h}} (\hat{Y}_{hi} - \hat{Y}_h)^2 \]
Para más detalles, véase Hansen, Hurwitz y Madow (1953, vol. I, p. 257) o Wolter (2007).
Aunque originalmente se diseñó para calcular varianzas de estimadores de totales, el método puede combinarse con linealización de Taylor o ecuaciones de estimación para derivar varianzas de otros parámetros poblacionales formulables como soluciones de ecuaciones de estimación. Esta flexibilidad hace que el método sea aplicable a diversos contextos de análisis de encuestas de hogares.
Un supuesto clave es que, dentro de cada estrato, las PSU se eligen de forma independiente y con reemplazo. En la práctica, la mayoría de las encuestas selecciona PSU sin reemplazo, generando diseños más eficientes. Así, las varianzas calculadas bajo la hipótesis de independencia constituyen aproximaciones de las verdaderas varianzas de muestreo. Cuando la fracción muestral es pequeña (por ejemplo, <5 %), estas aproximaciones suelen ser suficientemente precisas para su uso por oficinas nacionales de estadística o analistas secundarios.
El método Ultimate Cluster destaca por su simplicidad y robustez, lo que lo hace muy atractivo en la práctica. Aunque los métodos más sofisticados que consideran todas las etapas del diseño pueden ofrecer estimaciones de varianza ligeramente más precisas, su aplicación requiere información más detallada y mayor complejidad computacional. Por el contrario, el método Ultimate Cluster proporciona una aproximación confiable y eficiente, especialmente útil al estimar totales o medias en encuestas de hogares. Para un análisis detallado sobre la precisión de esta aproximación y posibles alternativas, véase Särndal, Swensson y Wretman (1992, p. 153).
Bootstrap
En muchos casos, los microdatos de encuestas públicas omiten información esencial del diseño, como identificadores de estratos o de unidades primarias de muestreo (UPM), para proteger la confidencialidad de los encuestados. Esta omisión limita la capacidad de los usuarios para calcular varianzas válidas. En tales situaciones, se recomienda que las oficinas nacionales de estadística (NSO) proporcionen pesos de replicación, lo que permite a los analistas estimar errores estándar de manera correcta. Sin estos datos, los usuarios secundarios no pueden reproducir los errores estándar publicados ni considerar adecuadamente el diseño complejo de la encuesta.
Los métodos de replicación estiman la varianza generando subconjuntos de la muestra original, calculando estimaciones para cada uno y utilizando la variabilidad observada entre estas estimaciones para aproximar la varianza del estimador principal. Son particularmente útiles cuando no se dispone de información sobre estratos o UPM, situación en la que no se puede aplicar el método de Ultimate Cluster.
El Bootstrap es una herramienta de replicación robusta y versátil. Originalmente introducido por Efron (1979) para datos que no provenían de encuestas, su adaptación más usada para encuestas de hogares es el Bootstrap de Reescalamiento Rao-Wu-Yue (Rao, Wu y Yue, 1992). Este método se ajusta de manera óptima a diseños de muestreo estratificados y multietápicos, y es ampliamente empleado para la estimación de varianzas en encuestas complejas.
El procedimiento consiste en generar muchas réplicas de la muestra original, simulando extracciones repetidas de la población. Cada réplica se construye mediante la creación de columnas adicionales de pesos de replicación en la base de datos, siguiendo este proceso:
- Para cada estrato, se seleccionan aleatoriamente las UPM con reemplazo; algunas pueden repetirse y otras no aparecer. Cada UPM elegida se incorpora con todas sus observaciones. Si el tamaño de la muestra de primera etapa en el estrato \(h\) es mayor que dos (\(n_h > 2\)), el número de UPM seleccionadas por réplica es \(n_h - 1\).
- Este proceso se repite muchas veces, habitualmente cientos, generando un gran número de réplicas. La cantidad de veces que una UPM \(i\) del estrato \(h\) aparece en la réplica \(r\) se denota \(n_{hi}^{(r)}\), variando entre 0 y \(n_h - 1\).
- A partir de cada réplica se calculan nuevos pesos bootstrap para todas las unidades, reflejando cuántas veces fue seleccionada su UPM. El peso de la unidad \(k\) en la réplica \(r\) se calcula como:
\[ w_{hik}^{(r)} = w_{hik} \times \frac{n_h}{n_h - 1} \times n_{hi}^{(r)} \]
Si los pesos originales incluyen ajustes por no respuesta o calibración, estos deben aplicarse también a cada conjunto de pesos bootstrap.
Cuando la NSO proporciona únicamente pesos de replicación Bootstrap, los analistas pueden estimar errores estándar correctamente, aun sin identificadores de estratos o UPM. Para cada réplica \(r\), se calcula el parámetro de interés \(\hat{\theta}^{(r)}\) usando los pesos bootstrap \(w_{hik}^{(r)}\). La varianza del estimador original se aproxima mediante la variabilidad entre todas las réplicas:
\[ \hat{V}_B(\hat{\theta}) = \frac{1}{R} \sum_{r=1}^{R} \left(\hat{\theta}^{(r)} - \tilde{\theta}\right)^2, \quad \tilde{\theta} = \frac{1}{R} \sum_{r=1}^{R} \hat{\theta}^{(r)} \]
Este enfoque asegura que la dispersión entre réplicas capture fielmente la incertidumbre del parámetro.
El Bootstrap ofrece múltiples ventajas. A pesar de requerir un mayor procesamiento computacional, es eficaz para diseños de encuesta complejos y permite estimar parámetros difíciles de calcular con métodos tradicionales, como medianas u otras estadísticas no lineales. Es especialmente útil para analistas que trabajan con bases de datos sin identificadores de estratos y UPM, pero con pesos de replicación.
La simplicidad del método facilita su aplicación incluso sin software estadístico especializado. Sin embargo, la mayoría de los paquetes estadísticos modernos ya incluyen procedimientos para aplicar Bootstrap y calcular varianzas, ampliando su disponibilidad y robustez. No obstante, su uso no es recomendable en encuestas repetidas con muestras superpuestas ni en situaciones con fracciones de muestreo grandes y tamaños de muestra pequeños (Bruch, 2011).
En este ejemplo se muestra cómo estimar totales y sus intervalos de confianza para diferentes variables de interés en R, utilizando dos funciones de la librería survey: la función svytotal para calcular los totales y la función confint para obtener los intervalos de confianza. A continuación, se presentan los códigos correspondientes:
## total SE DEff
## Income 85793667 4778674 11## 2.5 % 97.5 %
## Income 76427637 95159697Los argumentos que utiliza de la función svytotal con muy sencillos. Para el ejemplo, se le introduce primero la variable en la cual está la información que se desea estimar (Income). Posterior a esto, se introduce el diseño muestral del cual proviene la muestra y, por último, se indica si desea que se reporte el deff de la estimación o no.
Por otro lado, para el cálculo del intervalo de confianza, lo único que requiere es indicarle a la función confint el estimador y la confianza requerida.
Paras seguir ilustrando el uso de la función svytotal y de confint, estimemos el total de gastos de los hogares, pero ahora el intervalo de confianza se calculará al 90% de confianza. Los siguientes códigos realizan las estimaciones:
## total SE DEff
## Expenditure 55677504 2604138 10.222## 5 % 95 %
## Expenditure 51394077 59960931Si el objetivo ahora es estimar el total de los ingreso de los hogares pero discriminado por sexo, se utilizará ahora la función cascadede la libraría srvyr, la cual permite agregar
la suma de las categorías al final la tabla. También se utilizará la función group_by la cual permite obtener resultados agrupados por los niveles de interés.
diseno %>% group_by(Sex) %>%
cascade(Total = survey_total(
Income, level = 0.95,
vartype = c("se", "ci")),
.fill = "Total ingreso")## # A tibble: 3 × 5
## Sex Total Total_se Total_low Total_upp
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Female 44153820. 2324452. 39551172. 48756467.
## 2 Male 41639847. 2870194. 35956576. 47323118.
## 3 Total ingreso 85793667. 4778674. 76331414. 95255920.Como se pudo observar en lo códigos anteriores, otra forma de obtener las estimaciones del total, su desviación estándar y el intervalo de confianza es usando el argumento vartype e indicándole las opciones “se”, “ci” respectivamente.
4.3.3 Estimación de la media e intervalo de confianza
La estimación de la media poblacional es un parámetro muy importante en las encuestas de hogares, dado que, por ejemplo, uno de los indicadores trazadores en este tipo de encuestas son los ingresos medios por hogar. Además, este tipo de parámetros no permiten describir y analizar las tendencias centrales de estas variables en poblaciones de interés. Según Gutiérrez (2016) un estimador de la media poblacional se puede escribir como una razón no lineal de dos totales de población finitas estimados como sigue:
\[\begin{eqnarray*} \bar{Y}_{\omega} & = & \frac{\sum_{h=1}^{H}\sum_{\alpha=1}^{a_{h}}\sum_{i=1}^{n_{h\alpha}}\omega_{h\alpha i}y_{h\alpha i}}{\sum_{h=1}^{H}\sum_{\alpha=1}^{a_{h}}\sum_{i=1}^{n_{h\alpha}}\omega_{h\alpha i}}\\ & = & \frac{\hat{Y}}{\hat{N}}. \end{eqnarray*}\]
Como una observación tenga en cuenta que, si \(y\) es una variable binaria, la media ponderada estima la proporción de la población. Por otro lado, como \(\bar{Y}_{\omega}\) no es una estadística lineal, no existe una fórmula cerrada para la varianza de este estimador. Es por lo anterior que, se deben recurrir a usar métodos de remuestreo o series de Taylor. Para este caso en particular, usando series de Taylor el estimador insesgado de la varianza para este estimador es:
\[\begin{eqnarray*} var\left(\bar{Y}_{\omega}\right) & \dot{=} & \frac{var\left(\hat{Y}\right)+\bar{Y}_{\omega}^{2}\times var\left(\hat{N}\right)-2\times\bar{Y}_{\omega}\times cov\left(\hat{Y},\hat{N}\right)}{\hat{N}^{2}} \end{eqnarray*}\]
Como se puede observar, el cálculo de la estimación de la varianza tiene componentes complejos de calcular de manera analítica, como la covarianza entre el total estimado y el tamaño poblacional estimado. Sin embargo, R tiene funciones que incorpora estos estimadores. A continuación, se presenta la sintaxis para hacer dichos cálculos.
## mean SE DEff
## Income 570.945 28.478 8.8211## 2.5 % 97.5 %
## Income 515.1299 626.7607Como se puede observar, los argumentos que utiliza la función svymean para realizar la estimación de la media de los ingresos de los hogares y la desviación estándar estimada del estimador son similares a los utilizando con la función svytotal. Similarmente ocurre con el intervalo de confianza.
Por otro lado, tal como se realizó con el total, a manera de ejemplo, se estima la media de los gastos en los hogares como sigue a continuación:
## mean SE DEff
## Expenditure 370.526 13.294 6.0156## 2.5 % 97.5 %
## Expenditure 344.4697 396.5829También se pueden realizar estimaciones de la media por subgrupos siguiendo el mismo esquema mostrado para la función svytotal. Particularmente, los gastos de los hogares discriminados por sexo es:
diseno %>% group_by(Sex) %>%
cascade(
Media = survey_mean(
Expenditure, level = 0.95,
vartype = c("se", "ci")),
.fill = "El gasto medio" ) %>%
arrange(desc(Sex))## # A tibble: 3 × 5
## Sex Media Media_se Media_low Media_upp
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Male 374. 16.1 343. 406.
## 2 Female 367. 12.3 343. 391.
## 3 El gasto medio 371. 13.3 344. 397.Por zona,
diseno %>% group_by(Zone) %>%
cascade(
Media = survey_mean(
Expenditure, level = 0.95,
vartype = c("se", "ci")),
.fill = "El gasto medio")%>%
arrange(desc(Zone))## # A tibble: 3 × 5
## Zone Media Media_se Media_low Media_upp
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Urban 460. 22.2 416. 504.
## 2 Rural 274. 10.3 254. 294.
## 3 El gasto medio 371. 13.3 344. 397.Por sexo y zona,
diseno %>% group_by(Zone, Sex) %>%
cascade(
Media = survey_mean(
Expenditure, level = 0.95,
vartype = c("se", "ci")),
.fill = "El gasto medio") %>%
arrange(desc(Zone), desc(Sex)) %>%
data.frame()## Zone Sex Media Media_se Media_low Media_upp
## 1 Urban Male 469.8124 26.96068 416.4276 523.1973
## 2 Urban Female 450.8151 20.11853 410.9784 490.6518
## 3 Urban El gasto medio 459.6162 22.20655 415.6450 503.5874
## 4 Rural Male 275.3018 10.24848 255.0088 295.5948
## 5 Rural Female 272.6769 11.61470 249.6786 295.6751
## 6 Rural El gasto medio 273.9461 10.26141 253.6275 294.2647
## 7 El gasto medio El gasto medio 370.5263 13.29444 344.2020 396.8506Las medias o promedios poblacionales son esenciales para describir la tendencia central de una variable. Por ejemplo, el gasto promedio de los hogares es un indicador representativo del comportamiento económico de la población. Su cálculo consiste en dividir el total estimado de la variable entre el tamaño poblacional estimado, de modo que su precisión depende de la exactitud en ambos componentes.
El estimador de la media poblacional se puede expresar como:
\[ \widehat{\bar{Y}} = \frac{\displaystyle \sum_{h=1}^{H} \sum_{i \in s_{1h}} \sum_{k \in s_{hi}} w_{hik} y_{hik}} {\displaystyle \sum_{h=1}^{H} \sum_{i \in s_{1h}} \sum_{k \in s_{hi}} w_{hik}} = \frac{\hat{Y}}{\hat{N}} \]
Dado que \(\widehat{\bar{Y}}\) es un estimador no lineal, su varianza exacta no puede expresarse en forma cerrada. Por ello, los paquetes estadísticos especializados en encuestas complejas emplean métodos como el remuestreo o la aproximación de Taylor, que se implementan automáticamente para facilitar su cálculo.
4.3.4 Estimación de medidas de dispersión y localización
En las encuestas de hogares siempre es necesario estimar medidas de dispersión de las variables estudiadas. Esto con el fin de, por ejemplo, ver qué tan disímiles son los ingresos medios de los hogares en un país determinado y con esto poder tomar acciones de política pública. Por lo anterior, es importante estudiar este parámetro en este texto. A continuación, se presenta el estimador de la desviación estándar:
\[\begin{eqnarray} s\left(y\right){}_{\omega} & = & \frac{\sum_{h=1}^{H}\sum_{\alpha=1}^{a_{h}}\sum_{i=1}^{n_{h\alpha}}\omega_{h\alpha i}\left(y_{h\alpha i}-\bar{Y}_{\omega}\right)^{2}}{\sum_{h=1}^{H}\sum_{\alpha=1}^{a_{h}}\sum_{i=1}^{n_{h\alpha}}\omega_{h\alpha i}-1} \end{eqnarray}\]
Para llevar a cabo la estimación en R de la desviación estándar en encuestas de hogares, se utilizan la función survey_var la cual se ejemplifica a continuación:
(sd_Est <- diseno %>% group_by(Zone) %>%
summarise(Sd = sqrt(
survey_var(
Income,
level = 0.95,
vartype = c("se", "ci"),
) )))## # A tibble: 2 × 5
## Zone Sd Sd_se Sd_low Sd_upp
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Rural 310. 117. 263. 352.
## 2 Urban 582. 285. 422. 707.Como se pudo ver en el ejemplo anterior, se estimó la desviación estándar de los ingresos por zona reportando el error estándar en la estimación y un intervalo de confianza al 95%. Los argumentos que utiliza la función survey_var son similares a los usados en las funciones anteriores para estimar medias y totales.
Si el interés ahora se centra en estimar la desviación estándar clasificando por sexo y zona, los códigos computacionales son los siguientes:
(sd_Est <- diseno %>% group_by(Zone, Sex) %>%
summarise(Sd = sqrt(
survey_var(
Income,
level = 0.95,
vartype = c("se", "ci"),
)
))) %>% data.frame()## Zone Sex Sd Sd_se Sd_low Sd_upp
## 1 Rural Female 294.8683 111.6203 249.5537 334.0921
## 2 Rural Male 325.7584 124.9643 274.2209 370.1890
## 3 Urban Female 568.3920 286.4585 400.7312 696.8166
## 4 Urban Male 596.7756 288.9435 436.8362 722.1194Las medidas de posición no central (Percentiles) se diseñaron con el fin de conocer otros puntos característicos de la distribución de los datos que no son los valores centrales. Entre las medidas de posición no central más importantes están la mediana, cuartiles y percentiles. En la mayoría de las encuestas de hogares no solo estiman totales, medias y proporciones. En algunos indicadores es necesario estimar otros parámetros, por ejemplo, medianas y percentiles. Como lo menciona Tellez et al (2015) la mediana una medida de tendencia central la cual, a diferencia del promedio, no es fácilmente influenciada por datos atípicos y, por esto, se conoce como una medida robusta. La mediana es el valor que divide la población en dos partes iguales. Lo que implica que, la mitad de las observaciones de la característica de interés está por encima de la media y la otra mitad está por debajo.
Por otro lado, la estimación de percentiles de ingresos en un país determinado puede definir el inicio de una política pública. por ejemplo, poner a tributar aquellas personas naturales que son el 10% más alto de la distribución de los ingresos o por el contrario, generar subsidios de transporte a aquellas familias que están en el 15% inferior de la distribución de los ingresos.
La estimación de cuantiles (Loomis et al., 2005) se basa en los resultados relacionados con el estimador ponderado para totales, empleando una estimación de la función de distribución (CDF, por sus siglas en inglés) acumulada de la población. Específicamente, la CDF para una variable y en una población finita dada de tamaño \(N\) se define de la siguiente manera:
\[\begin{eqnarray*} F\left(x\right) & = & \frac{{ \sum_{i=1}^{N}}I\left(y_{i}\leq x\right)}{N} \end{eqnarray*}\]
Donde, \(I\left(y_{i}\leq x\right)\) es una variable indicadora la cual es igual a 1 si \(y_{i}\) es menor o igual a un valor específico \(x\), 0 en otro caso. Un estimador de la CDF en un diseño complejo (encuesta de hogares) de tamaño \(n\) está dado por:
\[\begin{eqnarray*} \hat{F}\left(x\right) & = & \frac{\sum_{h=1}^{H}\sum_{\alpha=1}^{a_{h}}\sum_{i=1}^{n_{h\alpha}}\omega_{h\alpha i}I\left(y_{i}\leq x\right)}{\sum_{h=1}^{H}\sum_{\alpha=1}^{a_{h}}\sum_{i=1}^{n_{h\alpha}}\omega_{h\alpha i}} \end{eqnarray*}\]
Una vez estimada la CDF utilizando los pesos del diseño muestral, el cuantil q-ésimo de una variable \(y\) es el valor más pequeño de \(y\) tal que la CDF de la población es mayor o igual que \(q\). Como es bien sabido, la mediana es aquel valor donde la CDF es mayor o igual a 0.5 y, por tanto, la media estimada es aquel valor donde la estimación de CDF es mayor o igual a 0.5.
Siguiendo las recomendaciones de Heeringa et al (2017) para estimar cuantiles, primero se considera las estadísticas de orden que se denotan como \(y_{1},\ldots,y_{n}\), y encuentra el valor de \(j\) \((j=1,\ldots,n)\) tal que:
\[\begin{eqnarray*} & \hat{F}\left(y_{j}\right)\leq q\leq\hat{F}\left(y_{j+1}\right) \end{eqnarray*}\]
Ahora bien, la estimación del q-ésimo cuantil \(Y_{q}\) en un diseño de muestreo complejo está dado por:
\[\begin{eqnarray*} \hat{Y}_{q} & = & y_{j}+\frac{q-\hat{F}\left(y_{j}\right)}{\hat{F}\left(y_{j+1}\right)-\hat{F}\left(y_{j}\right)}\left(y_{j+1}-y_{j}\right) \end{eqnarray*}\]
Para la estimación de la varianza e intervalos de confianza de cuantiles, Kovar et al. (1988) muestra los resultados de un estudio de simulación en donde recomienda el uso de Balanced Repeated Replication (BRR) para estimarla.
Los estimadores y procedimientos antes mencionados para la estimación de percentiles y sus varianzas están implementados en R. Particularmente, la estimación de la mediana se realiza usando la función survey_median. A continuación, se muestra la sintaxis de cómo calcular la mediana de los gastos, la desviación estándar y el intervalo de confianza al 95% de los hogares en la base de datos de ejemplo.
diseno %>% summarise(Mediana =
survey_median(
Expenditure,
level = 0.95,
vartype = c("se", "ci"),
))## # A tibble: 1 × 4
## Mediana Mediana_se Mediana_low Mediana_upp
## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 298. 8.83 282. 317.Como se puede observar, los argumentos de la función survey_median son similares a los del total y la media.
Ahora bien, al igual que con los demás parámetros, si el objetivo ahora es estimar la mediana de los gastos de los hogares, pero esta vez discriminada por zona y también por sexo, el código computacional sería el siguiente:
diseno %>% group_by(Zone) %>%
summarise(Mediana =
survey_median(
Expenditure,
level = 0.95,
vartype = c("se", "ci"),
))## # A tibble: 2 × 5
## Zone Mediana Mediana_se Mediana_low Mediana_upp
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Rural 241. 11.0 214. 258.
## 2 Urban 381. 19.8 337. 416.diseno %>% group_by(Sex) %>%
summarise(Mediana =
survey_median(
Expenditure,
level = 0.95,
vartype = c("se", "ci"),
))## # A tibble: 2 × 5
## Sex Mediana Mediana_se Mediana_low Mediana_upp
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Female 300. 10.5 282. 324.
## 2 Male 297. 9.29 277. 314.Si el objetivo ahora es estimar cuantiles, por ejemplo, el cuantil 0.25 de los gastos de los hogares, se realizaría usando la función survey_quantile como sigue:
diseno %>%
summarise(
Q = survey_quantile(
Expenditure,
quantiles = 0.5,
level = 0.95,
vartype = c("se", "ci"),
interval_type = "score"
))## # A tibble: 1 × 4
## Q_q50 Q_q50_se Q_q50_low Q_q50_upp
## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 298. 12.0 265. 312.si ahora se desea estimar el cuantil 0.25 pero discriminando por sexo y por zona se realizaría como sigue:
diseno %>% group_by(Sex) %>%
summarise(
Q = survey_quantile(
Expenditure,
quantiles = 0.25,
level = 0.95,
vartype = c("se", "ci"),
interval_type = "score"
))## # A tibble: 2 × 5
## Sex Q_q25 Q_q25_se Q_q25_low Q_q25_upp
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Female 210. 14.9 169. 228.
## 2 Male 193. 10.4 163. 205.diseno %>% group_by(Zone) %>%
summarise(
Q = survey_quantile(
Expenditure,
quantiles = 0.25,
level = 0.95,
vartype = c("se", "ci"),
interval_type = "score"
))## # A tibble: 2 × 5
## Zone Q_q25 Q_q25_se Q_q25_low Q_q25_upp
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Rural 160. 4.64 145. 163.
## 2 Urban 258. 9.05 256. 292.