4.6 Estimador de Zelterman
Zelterman (1988) propuso estimar el tamaño poblacional en estudios de captura y recaptura usando un enfoque basado en el estimador de Horvitz–Thompson. El estimador se basa en que los datos siguen una distribución de Poisson truncada (es decir, cuando no se observan los ceros), y hay heterogeneidad en las probabilidades de ser capturado.
El objetivo es estimar \(p_0\) utilizando solamente los conteos de los individuos observados una vez, \(N_{1}=N_{12}+N_{21}\), y los que son observados exactamente dos veces, \(N_{2}=N_{11}\), de la distribución de conteos truncada en cero. El estimador del tamaño poblacional propuesto por Zelterman es:
\[ \hat{N}_{\text{Zel}} = \frac{\hat{N}_{11} + \hat{N}_{12} + \hat{N}_{21}}{1 - \exp\left(-\frac{2\hat{N}_{11}}{\hat{N}_{12} + \hat{N}_{21}}\right)} \]
y con aproximación de la varianza dada por:
\[ \hat{V}(\hat{N}_{\text{Zel}}) = \left( \frac{(\hat{N}_{11} + \hat{N}_{12} + \hat{N}_{21}) \cdot \exp(-\lambda)}{1 - \exp(-\lambda)} \right)^2 \cdot \left( \frac{4 \hat{N}_{11}^2}{(\hat{N}_{12} + \hat{N}_{21})^4} + \frac{2}{(\hat{N}_{12} + \hat{N}_{21})^2} \right) \]
donde
\[\lambda = \frac{2\hat{N}_{11}}{\hat{N}_{12} + \hat{N}_{21}}.\]