8.2 Estadístico de Wald

Este estadístico se aplica cuando ya se ha elegido un modelo estadístico ( regresión lineal simple, regresión logística, entre otros).El estadístico de prueba de Wald \(\chi^{2}\) para la hipótesis nula de independencia de filas y columnas en una tabla de doble entrada se define de la siguiente manera:

\[ Q_{wald}=\hat{\boldsymbol{Y}^{t}}\left(\boldsymbol{H}\hat{\boldsymbol{V}}\left(\hat{\boldsymbol{N}}\right)\boldsymbol{H}^{t}\right)^{-1}\hat{\boldsymbol{Y}} \]

donde,

\[ \hat{\boldsymbol{Y}}=\left(\hat{N}-E\right) \]

es un vector de \(R\times C\) de diferencias entre los recuentos de celdas observadas y esperadas, esto es, \(\hat{N}_{rc}-E_{rc}\). La matriz \(\boldsymbol{H}\hat{\boldsymbol{V}}\left(\hat{\boldsymbol{N}}\right)\boldsymbol{H}^{t}\), representa la matriz de varianza y covarianza estimada para el vector de diferencias. En el caso de un diseño de muestra complejo, la matriz de varianza-covarianza de los conteos de frecuencia ponderada, \(\hat{V}\left(\hat{N}\right)\), se estima utilizando métodos de remuestreo o aproximación de Taylor. La matriz \(\boldsymbol{H}\) es la inversa de la matriz \(\boldsymbol{J}\) dada por:

\[ \boldsymbol{J}=-\left[\frac{\delta^{2}\ln PL\left(\boldsymbol{B}\right)}{\delta^{2}\boldsymbol{B}}\right] \mid \boldsymbol{B}=\hat{\boldsymbol{B}} \] Bajo la hipótesis nula de independencia, el estadístico de wald se distribuye chi cuadrado con \(\left(R-1\right)\times\left(C-1\right)\) grados de libertad, \[ Q_{wald}\sim\chi_{\left(R-1\right)\times\left(C-1\right)}^{2} \]

La transformación F del estadístico de Wald es: \[ F_{wald}=Q_{wald}\times\frac{df-\left(R-1\right)\left(C-1\right)+1}{\left(R-1\right)\left(C-1\right)df}\sim F_{\left(R-1\right)\left(C-1\right),df-\left(R-1\right)\left(C-1\right)+1} \]

En R, para calcular el estadístico de Wald se hace similarmente al cálculo de los estadísticos anteriores usando la función summary como sigue:

summary(tab, statistic = "Wald")

##        Sex
## pobreza Female  Male
##       0  48366 43032
##       1  30824 28044
## 
##  Design-based Wald test of association
## 
## data:  NextMethod()
## F = 0.056, ndf = 1, ddf = 119, p-value = 0.8

Se puede concluir que, con una confianza del 95% y basado en la muestra no hay relación entre el estado de pobreza y el sexo.

En este mismo sentido, el estadístco de Wald ajustado en R se se calcula similarmente al anterior y los resultados fueron similares:

summary(tab, statistic = "adjWald")

##        Sex
## pobreza Female  Male
##       0  48366 43032
##       1  30824 28044
## 
##  Design-based Wald test of association
## 
## data:  NextMethod()
## F = 0.056, ndf = 1, ddf = 119, p-value = 0.8