14.1 Definición del modelo multinomial
Sea \(K\) el número de categorías de la variable de interés \(𝑌\sim multinimial\left(\boldsymbol{\theta}\right)\), con \(\boldsymbol{\theta}=\left(p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\right)\) y \(\sum_{k=1}^{K}p_{k}=1\).
Sea \(N_i\) el número de elementos en el i-ésiamo dominio y \(N_{ik}\) el número de elementos que tienen la k-ésima categoría, note que \(\sum_{k=1}^{K}N_{ik}=N_{i}\) y \(p_{ik}=\frac{N_{ik}}{N_{i}}\).
Sea \(\hat{p}_{ik}\) la estimación directa de \(p_{ik}\) y \(v_{ik}=Var\left(\hat{p}_{ik}\right)\) y denote el estimador de la varianza por \(\hat{v}_{ik}=\widehat{Var}\left(\hat{p}_{ik}\right)\)
Note que el efecto diseño cambia entre categoría, por tanto, lo primero será definir el tamaño de muestra efectivo por categoría. Esto es:
La estimación de \(\tilde{n}\) esta dado por \(\tilde{n}_{ik} = \frac{(\tilde{p}_{ik}\times(1-\tilde{p}_{ik}))}{\hat{v}_{ik}},\)
\(\tilde{y}_{ik}=\tilde{n}_{ik}\times\hat{p}_{ik}\)
luego, \(\hat{n}_{i} = \sum_{k=1}^{K}\tilde{y}_{ik}\)
de donde se sigue que \(\hat{y}_{ik} = \hat{n}_i\times \hat{p}_{ik}\)
Sea \(\boldsymbol{\theta}=\left(p_{1},p_{2}, p_{3}\right)^{T}=\left(\frac{N_{i1}}{N_{i}},\frac{N_{i2}}{N_{i}}\frac{N_{i3}}{N_{i}}\right)^{T}\), entonces el modelo multinomial para el i-ésimo dominio estaría dado por:
\[ \left(\tilde{y}_{i1},\tilde{y}_{i2},\tilde{y}_{i3}\right)\mid\hat{n}_{i},\boldsymbol{\theta}_{i}\sim multinomial\left(\hat{n}_{i},\boldsymbol{\theta}_{i}\right) \] Ahora, puede escribir \(p_{ik}\) como :
\(\ln\left(\frac{p_{i2}}{p_{i1}}\right)=\boldsymbol{X}_{i}^{T}\beta_{2} + u_{i2}\) y \(\ln\left(\frac{p_{i3}}{p_{i1}}\right)=\boldsymbol{X}_{i}^{T}\beta_{3}+ u_{i3}\)
Dada la restricción \(1 = p_{i1} + p_{i2} + p_{i3}\) entonces \[p_{i1} + p_{i1}(e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i2})+p_{i1}(e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta}_{3}} + u_{i3})\] de donde se sigue que
\[ p_{i1}=\frac{1}{1+e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i2}+e^{\boldsymbol{X_{i}}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i3}} \]
Las expresiones para \(p_{i2}\) y \(p_{i3}\) estarían dadas por:
\[ p_{i2}=\frac{e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta}_{2}} + u_{i2}}{1+e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i2}+e^{\boldsymbol{X_{i}}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i3}} \]
\[ p_{i3}=\frac{e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta}_{3}}+ u_{i3}}{1+e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i2}+e^{\boldsymbol{X_{i}}^{T}\boldsymbol{\beta_{3}}}+ u_{i3}} \]