10.3 Estimación de la informalidad laboral con un modelo de área con tranformación arcoseno.

El Modelo de Fay-Herriot con transformación arcoseno es una técnica estadística ampliamente utilizada en la estimación de la media y la varianza de una población a partir de una muestra. Esta herramienta es particularmente útil cuando se trabaja con datos que no cumplen con los supuestos de normalidad, como es el caso de las proporciones o porcentajes limitados entre 0 y 1.

La transformación arcoseno es una técnica matemática que se aplica a los datos para mejorar su distribución. Esta transformación se utiliza comúnmente en estadística para trabajar con datos que tienen una distribución asimétrica o no cumplen con la normalidad. La transformación arcoseno es especialmente útil para trabajar con variables como la informalidad laboral, que se define como la proporción de trabajadores informales en una población.

En este contexto, el modelo de Fay-Herriot con transformación arcoseno se convierte en una herramienta valiosa para la estimación de la informalidad laboral en pequeñas áreas geográficas. Esta técnica permite la inclusión de información auxiliar, como las características socioeconómicas de las áreas geográficas, para mejorar la precisión y la confiabilidad de las estimaciones.

Además, el modelo de Fay-Herriot con transformación arcoseno también permite la inclusión de covariables para tener en cuenta los factores socioeconómicos que pueden influir en la informalidad laboral. Al incorporar esta información adicional, se pueden obtener estimaciones más precisas y detalladas de la informalidad laboral en áreas geográficas específicas.

Ahora, la transformación arcoseno para la estimación directa \(\theta_d\) esta dada por:

\[ \hat{z}_d = arcsin\left( \sqrt{ \hat{\theta}_d} \right) \] donde

\[ Var\left( \hat{z}_d \right) = \frac{\widehat{DEFF}_d}{4\times n_d} = \frac{1}{4\times n_{d,efectivo} } \]

Y el modelo de Fay-Herriot estaría definido de la siguiente forma:

\[ \begin{eqnarray*} Z_d \mid \mu_d,\sigma^2_d & \sim & N(\mu_d, \sigma^2_d)\\ \mu_d & = & \boldsymbol{x}^{T}_{d}\boldsymbol{\beta} + u_d \\ \theta_d & = & \left(sin(\mu_d)\right)^2 \end{eqnarray*} \] donde \(u_d \sim N(0 , \sigma^2)\).

Suponga de las distribuciones previas para \(\boldsymbol{\beta}\) y \(\sigma_{u}^{2}\) son dadas por

\[ \begin{eqnarray*} \boldsymbol{\beta} \sim N\left(0,1000 \right)\\ \sigma_{u}^{2} \sim IG\left(0.0001,0.0001\right) \end{eqnarray*} \]