Capítulo 8 Día 3 - Sesión 1- Modelos de área - Estimación de la pobreza y la transformación ArcoSeno.

En su concepción más básica, el modelo de Fay-Herriot es una combinación lineal de covariables. Sin embargo, el resultado de esta combinación pueden tomar valores que se salen del rango aceptable en el que puede estar una proporción; es decir, en general el estimador de Fay-Herriot \(\theta \in R\), mientras que el estimador directo \(\theta \in (0,1)\). La transformación arcoseno esta dada por:

\[ \hat{z}_d = arcsin\left( \sqrt{ \hat{\theta}_d} \right) \] donde

\[ Var\left( \hat{z}_d \right) = \frac{\widehat{DEFF}_d}{4\times n_d} = \frac{1}{4\times n_{d,efectivo} } \]

El modelo de Fay-Herriot estaría definido de la siguiente forma:

\[ \begin{eqnarray*} Z_d \mid \mu_d,\sigma^2_d & \sim & N(\mu_d, \sigma^2_d)\\ \mu_d & = & \boldsymbol{x}^{T}_{d}\boldsymbol{\beta} + u_d \\ \theta_d & = & \left(sin(\mu_d)\right)^2 \end{eqnarray*} \] donde \(u_d \sim N(0 , \sigma^2)\).

Suponga de las distribuciones previas para \(\boldsymbol{\beta}\) y \(\sigma_{u}^{2}\) son dadas por \[ \begin{eqnarray*} \boldsymbol{\beta} \sim N\left(0,1000 \right)\\ \sigma_{u}^{2} \sim IG\left(0.0001,0.0001\right) \end{eqnarray*} \]