Capítulo 15 Día 5 - Sesión 2 - Definición del modelo multinomial de efectos aleatorios correlacionados.

La Estimación del modelo de área de respuesta multinomial es una técnica estadística utilizada para analizar datos provenientes de encuestas que involucran múltiples categorías de respuesta y están diseñadas a nivel de áreas geográficas. Esta técnica es una extensión del modelo de área de respuesta binomial, el cual se utiliza para analizar encuestas con dos posibles respuestas.

El Modelo multinomial logístico es un tipo de modelo de regresión utilizado para analizar datos de respuesta categóricos que tienen más de dos categorías. Este modelo es una extensión del modelo de regresión logística binaria, el cual se utiliza para analizar datos de respuesta binaria. Recordemos las expresiones del modelo múltinomial.

Sea \(\boldsymbol{\theta}=\left(p_{1},p_{2}, p_{3}\right)^{T}=\left(\frac{N_{i1}}{N_{i}},\frac{N_{i2}}{N_{i}}\frac{N_{i3}}{N_{i}}\right)^{T}\), entonces el modelo multinomial para el i-ésimo dominio estaría dado por:

\[ \left(\tilde{y}_{i1},\tilde{y}_{i2},\tilde{y}_{i3}\right)\mid\hat{n}_{i},\boldsymbol{\theta}_{i}\sim multinomial\left(\hat{n}_{i},\boldsymbol{\theta}_{i}\right) \] Ahora, puede escribir \(p_{ik}\) como :

\(\ln\left(\frac{p_{i2}}{p_{i1}}\right)=\boldsymbol{X}_{i}^{T}\beta_{2} + u_{i2}\) y \(\ln\left(\frac{p_{i3}}{p_{i1}}\right)=\boldsymbol{X}_{i}^{T}\beta_{3}+ u_{i3}\)

Dada la restricción \(1 = p_{i1} + p_{i2} + p_{i3}\) entonces \[p_{i1} + p_{i1}(e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i2})+p_{i1}(e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta}_{3}} + u_{i3})\] de donde se sigue que

\[ p_{i1}=\frac{1}{1+e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i2}+e^{\boldsymbol{X_{i}}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i3}} \]

Las expresiones para \(p_{i2}\) y \(p_{i3}\) estarían dadas por:

\[ p_{i2}=\frac{e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta}_{2}} + u_{i2}}{1+e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i2}+e^{\boldsymbol{X_{i}}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i3}} \]

\[ p_{i3}=\frac{e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta}_{3}}+ u_{i3}}{1+e^{\boldsymbol{X}_{i}^{T}\boldsymbol{\beta_{2}}}+ u_{i2}+e^{\boldsymbol{X_{i}}^{T}\boldsymbol{\beta_{3}}}+ u_{i3}} \]

dado la naturaleza de la variable, se puede suponer que \(cor(u_{i2},u_{i3})\ne 0\)