12.1 Modelo de regresión logistica.

Sea \[ y_{ji}=\begin{cases} 1 & ingreso_{ji}\le lp\\ 0 & e.o.c. \end{cases} \] donde \(ingreso_{ji}\) representa el ingreso de la \(i\)-ésima persona en el \(j\)-ésimo post-estrato y \(lp\) es un valor limite, en particular la linea de pobreza. Empleando un modelo de regresión logística de efecto aleatorios pretende establecer la relación entre la expectativa \(\theta_{ji}\) de la variable dicotómica con las covariables de información auxiliar disponibles para ser incluidas. El procedimiento correspondiente a este proceso, modela el logaritmo del cociente entre la probabilidad de estar por debajo de la linea de pobreza a su complemento en relación al conjunto de covariables a nivel de unidad, \(x_{ji}\), y el efecto aleatorio \(u_d\).

\[ \begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{\theta_{ji}}{1-\theta_{ji}}\right)=\boldsymbol{x}_{ji}^{T}\boldsymbol{\beta}+u_d \end{eqnarray*} \]

Donde los coeficientes \(\boldsymbol{\beta}\) hacen referencia a los efectos fijos de las variables \(x_{ji}^T\) sobre las probabilidades de que la \(i\)-ésima persona este por debajo de la linea de pobreza; por otro lado, \(u_d\) son los efectos fijos aleatorios, donde \(u_{d}\sim N\left(0,\sigma^2_{u}\right)\).

Para este caso se asumen las distribuciones previas

\[ \begin{eqnarray*} \beta_k & \sim & N(0, 1000)\\ \sigma^2_u &\sim & IG(0.0001,0.0001) \end{eqnarray*} \] las cuales se toman no informativas.

A continuación se muestra el proceso realizado para la obtención de la predicción de la tasa de pobreza.