8.1 Confiabilidad y precisión

Antes de introducir las metodologías básicas para el cálculo del tamaño de muestra mínimo, es necesario definir los diferentes tipos de error muestral en una encuesta. En principio, se define un intervalo de confianza para el parámetro \(\theta\), inducido por su estimador insesgado \(\hat{\theta}\) (que se supone con distribución normal de media \(\theta\) y varianza \(Var(\hat{\theta})\), como

\[ IC(1-\alpha)=\left[\hat{\theta}-z_{1-\alpha / 2}\sqrt{ Var(\hat{\theta})},\hat{\theta}+z_{1-\alpha / 2}\sqrt{Var(\hat{\theta})}\right] \]

donde \(z_{1-\alpha / 2}\) se refiere al cuantil \((1-\alpha / 2)\) de una variable aleatoria con distribución normal estándar. Cuando el diseño de muestreo es complejo, es necesario reemplazar el percentil de la distribución normal estándar por el presentir de una distribución \(t-student\) con \(N_I - H\) grados de libertad, suponiendo que hay \(N_I\) unidades primarias de muestreo y \(H\) estratos. En este orden de ideas, nótese que

\[ 1-\alpha=\sum_{Q_0 \supset s}p(s), \]

donde \(Q_0\) es el conjunto de todas las posible muestras cuyo intervalo de confianza contiene al parámetro \(\theta\). Desde la expresión del intervalo de confianza, se define el margen de error, como aquella cantidad que se suma y se resta al estimador insesgado. En este caso, se define como

\[ ME = z_{1-\alpha / 2}\sqrt{ Var(\hat{\theta})} \]

Desde esta expresión también es posible definir el error estándar, dado por

\[ EE = \sqrt{ Var(\hat{\theta})} \]

Las anteriores medidas sólo tienen en cuenta la precisión del estimador. Una medida que tiene en cuenta la precisión y el sesgo del estimador es el margen de error relativo, que se define como

\[ MER = z_{1-\alpha / 2}\frac{\sqrt{ Var(\hat{\theta})}}{E(\hat{\theta})} \]

De la misma manera, también se define el coeficiente de variación o error estándar relativo definido por

\[ CV = \frac{\sqrt{ Var(\hat{\theta})}}{E(\hat{\theta})} \]

El tamaño de muestra dependerá del tipo de error que se quiera minimizar. Por ejemplo, para una población particular, el tamaño de muestra requerido para minimizar el margen de error, no será el mismo que el que se necesitará para minimizar el coeficiente de variación.