7.1 Estimación del efecto de diseño
En la expresión de efecto de diseño se debe notar dos hechos importantes, en primer lugar, DEFF depende del diseño muestral \(p(s)\), y en segundo lugar, depende del estimador del parámetro \(\theta\). De esta forma, no es correcto describir al \(DEFF\) únicamente como una medidad de eficiencia del diseño muestral, puesto que bajo un mismo diseño, este puede tomar diferentes valores según el parámetro que se quiera estimar.
Nótese que ninguno de los componentes del efecto de diseño se conoce y por ende deben ser estimados. En particular, un estimador aproximadamente insesgado de la varianza poblacional \(S^2_{y_U}\) es la varianza muestral ponderada, la cual está dada por la siguiente expresión:
\[ \hat{S}^2_{y_U} = \left(\frac{n}{n-1}\right) \frac{\sum_s{ w_k ( y_k - \hat{\theta})^2}}{\sum_s{w_k} -1 } \]
De esta forma, en el caso en el que \(\theta\) corresponda a un promedio poblacional, una estimación de la varianza \({Var}_{MAS}(\hat{\theta})\) bajo muestreo aleatorio simple está dada por la siguiente expresión:
\[ \widehat{Var}_{MAS}(\hat{\theta}) = \frac{1}{n} \left(1-\frac{n}{\hat N}\right) \hat{S}^2_{y_U} \]
En donde \(\hat N = \sum_s w_k\). Por lo tanto, la estimación del efecto de diseño DEFF está dada por
\[ \widehat{DEFF} = \frac{\widehat{Var}(\hat\theta)}{\widehat{Var}_{MAS}(\hat{\theta})} \]
La idea central del efecto de diseño recae en la evaluación del mismo estimador bajo diferentes escenarios de muestreo. Como el estimador que se está estudiando \(\hat \theta\) viene ponderado por los factores de expansión de la encuesta, entonces lo más conveniente es utilizar el mismo rasero para evaluar ambas estrategias de muestreo. Es posible encontrar una discusión más profunda sobre el efecto de diseño en Jack G. Gambino (2009, sec. 4.), C.-E. Särndal, Swensson, y Wretman (2003, 188) y A. Gutiérrez, Zhang, y Montaño (2016, 101).