8.2 El efecto de diseño en la determinación del tamaño de muestra
Al momento de diseñar un estudio por muestreo con encuestas de hogares, es importante establecer el número mínimo de encuestas y entrevistas que se deben realizar. Esto es necesario para determinar el costo del estudio; y en el aspecto técnico, permite tener control desde la fase de diseño sobre la calidad estadística de los resultados esperados en el estudio. Como se mencionó anteriomente, esta calidad puede ser medida en términos del error muestral, con indicadores tales como el margen de error, el margen de error relativo o el coeficiente de variación. Todas estas medidas dependen de la varianza del estimador bajo el diseño muestral complejo; por lo tanto, contar con un valor aproximado para el efecto de diseño \(DEFF\) nos permite obtener una aproximación a dicha varianza, y acercarnos al error muestral del estudio en la fase del diseño.
Uno de los primeros paradigmas con el que se debe lidiar es el de la independencia entre las observaciones. Este es un supuesto que gobierna gran parte de la teoría de análisis estadístico, pero que infortunadamente no se aplica en el contexto de las encuestas de hogares. Ante los retos que se debe enfrentar y las diversas estrategias de recolección de información, las fórmulas que se desprenden del supuesto de que los observaciones corresponden a una muestra de variables independientes e idénticamente distribuidas no son plausibles.
La estratificación, las múltiples etapas y la aglomeración de las unidades de muestreo hacen que este supuesto no se cumpla en la práctica y por tanto, utilizar las expresiones tradicionales que se encuentran en los libros introductorios de estadística guiará a tamaños de muestra insuficientes. El problema del tamaño de muestra en encuestas de hogares ha sido abordado por diferentes autores con diferentes enfoques. Quizás uno de los más aceptados es aquel que define un factor de ajuste, llamado efecto de diseño, en función de la correlación que hay entre la variable de interés con las unidades primarias de muestreo. A partir de este efecto de diseño se calcula el número de personas que deben ser encuestadas para minimizar un error de muestreo predefinido.
Cuando para la población de interés, se selecciona una muestra utilizando un diseño de muestreo de conglomerados o en varias etapas, no es imposible afirmar que existe independencia entre las observaciones. Lo anterior hace que no sea posible utilizar las fórmulas clásicas para la determinación de un tamaño de muestra, al considerar un diseño de muestreo aleatorio simple. Sin embargo, una forma sencilla de incorporar este efecto de aglomeración en las expresiones clásicas del muestreo aleatorio simple la da relación de las varianzas en el efecto de diseño:
\[ DEFF(\hat{\theta})=\frac{Var_p(\hat{\theta})}{Var_{MAS}(\hat{\theta})} \]
Esta cifra da cuenta del efecto de aglomeración causado por la utilización de un diseño de muestreo cualquiera \((p)\), frente a un diseño de muestreo aleatorio simple (MAS) en la inferencia de un parámetro de la población finita \(\theta\) (que puede ser un total, una proporción, una razón, un coeficiente de regresión, etc.). Por lo anterior, es posible escribir la varianza del estimador bajo el diseño de muestreo complejo como
\[\begin{align} Var_p(\hat{\theta}) & = DEFF(\hat{\theta}) \ Var_{MAS}(\hat{\theta}) \\ & = DEFF(\hat{\theta}) \ \frac{N^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right)S^2_{y_U} \end{align}\]
Por lo tanto, si al implementar un muestreo aleatorio simple el tamaño de muestra \(n_0\) es suficiente para conseguir la precisión deseada, entonces el valor del tamaño de muestra que tendrá en cuenta el efecto de aglomeración para un diseño complejo estará cercano a \(n \approx n_0 \times DEFF\). Por ende, un efecto de diseño DEFF = 2.0 implicaría que se deberían seleccionar casi el doble de unidades para lograr la misma confiabilidad que la producida por una muestra aleatoria simple. UN (2008b) afirma que, dada esta relación, es claramente indeseable tener un plan de muestreo con valores mucho mayores que 2.5 o 3.0 para los indicadores clave de la encuesta. Esta advertencia crea una regla precisa a la hora de escoger el escenario de muestreo más conveniente, puesto que las tablas de muestreo deberán ser filtradas por los casos que induzcan efectos de diseño menores a 3. Lo cual quiere decir que los equipos técnicos dentro de los INE deben plantear esquemas en donde el efecto de diseño para los indicadores claves de la encuesta no sea desproporcionadamente grande.
En particular, para el caso de una proporción, la calidad del estimador se puede medir en términos de la amplitud del intervalo de confianza de al menos \((1-\alpha) \times 100\%\); esto es, la distancia entre el estimador y el parámetro no debería superar un margen de error previamente establecido (\(ME\)). Así:
\[ 1-\alpha \geq \Pr\left(|\hat{P}-P|<ME\right) \]
Por ejemplo, el estimador de Horvitz-Thompson de la proporción \(\hat{P}\) es insesgado para \(P\) y su distribución asintótica es gausiana con varianza dada por
\[ Var\left(\hat{P}\right)=DEFF\frac{1}{n}(1-\frac{n}{N})P(1-P) \]
Al despejar el tamaño muestral \(n\) de la anterior expresión, se tiene que
\[ n\geq\frac{P(1-P)}{\frac{ME^2}{DEFF \ z_{1-\alpha/2}^2}+\frac{P(1-P)}{N}} \]
De la misma manera, si el interés recae en la estimación de un promedio \(\bar{y}_U\), el tamaño de muestra necesario para que la amplitud relativa del intervalo de confianza no supre un margen de error relativo previamente establecido (\(MER\)) es de
\[ n \geq \dfrac{S^2_{y_U}DEFF}{\dfrac{MER^2 \bar{y}_U^2}{z_{1-\alpha/2}^2}+\dfrac{S^2_{y_U}DEFF}{N}} \]
Por consiguiente, se evidencia que valores grandes del efecto de diseño inducirán un mayor tamaño de muestra. Claramente el incremento no es lineal, más aún, el tamaño de muestre se ve más afectado en la medida en que el \(DEFF\) sea más grande.