11.1 Fórmulas exactas y linealización de Taylor
En la mayoría de casos de interés se pueden encontrar las fórmulas exactas que aplican a cada diseño de muestreo y a cada estimador usado. Para diseños simples es posible implementarlas para calcular la estimación de los errores directamente. Sin embargo, en diseños multietápicos y con estimadores simples se pueden tornar extremadamente complicadas. Más aún, en diseños multietápicos y para estimadores complejos simplemente no son una opción plausible.
La estimación de la varianza en una estrategia de muestreo es una tarea no siempre sencilla. A partir de la teoría se establece un camino lógico basado en las probabilidades de inclusión de primer y segundo orden. En general, para cualquier diseño de muestreo sin reemplazo, la fórmula exacta para calcular una varianza del estimador de Horvitz-Thompson está dada por:
\[Var(\hat{t}_{y,\pi}) = \sum_U\sum_U \Delta_{kl}\frac{y_k}{\pi_k}\frac{y_l}{\pi_l}\]
En donde \(\Delta_{kl} = \pi_{kl} - \pi_l \pi_l\). Además, la probabilidad de inclusión de segundo orden se denota análogamente como \(\pi_{kl}\) y define la probabilidad de que los elementos \(k\) y \(l\) pertenezcan a la muestra al mismo tiempo; esto es,
\[ \pi_{kl}=Pr(k\in s, \ l\in s)=Pr(I_k\ I_l=1)=\sum_{s \ni k, l} p(s). \]
En donde el subíndice \({s \ni k, l}\) se refiere a la suma sobre todas las muestras que contienen a los elementos \(k\)-ésimo y \(l\)-ésimo. Evidentemente, por razones computacionales y porque es imposible acceder a la observación de los registros sobre toda la población finita, hacer este cálculo para los estimadores de los indicadores de interés en las encuestas simplemente no es viable.
En la práctica de las encuestas de hogares nunca se podrá contar con la varianza exacta de un estimador; por consiguiente, para tener una estimación de la precisión de la estrategia de muestreo se debe estimar la varianza del estimador. H. A. Gutiérrez (2016) afrima que un estimador insesgado para esta varianza está dada por la siguiente expresión:
\[ \widehat{Var}_1(\hat{t}_{y,\pi})=\sum\sum_S \dfrac{\Delta_{kl}}{\pi_{kl}}\frac{y_k}{\pi_k}\frac{y_l}{\pi_l} \]
Asimismo, si el diseño es de tamaño de muestra fijo, un estimador insesgado está dado por \[ \widehat{Var}_2(\hat{t}_{y,\pi})=-\frac{1}{2}\sum\sum_S\frac{\Delta_{kl}}{\pi_{kl}}\left(\frac{y_k}{\pi_k}-\frac{y_l}{\pi_l}\right)^2 \]
De esta forma, cuando el tamaño de muestra es suficientemente grande, se puede construir un intervalo de confianza de nivel \((1-\alpha)\) para el total poblacional \(t_y\) como se indica a continuación:
\[ IC(1-\alpha)=\left[\hat{t}_{y,\pi}-z_{1-\alpha / 2}\sqrt{ Var(\hat{t}_{y,\pi})},\hat{t}_{y,\pi}+z_{1-\alpha / 2}\sqrt{Var(\hat{t}_{y,\pi})}\right] \]
donde \(z_{1-\alpha / 2}\) se refiere al percentil \((1-\alpha / 2)\) de una variable aleatoria con distribución normal estándar. Como cada diseño de muestreo induce una forma cerrada para las probabilidades de inclusión de primer y segundo orden, las fórmulas de la estimación de la varianza se reducen ostensiblemente. Por ejemplo, si el diseño de muestreo es aleatorio simple, la fórmula de la estimación de la varianza es
\[ \widehat Var(\hat{t}_{y\pi}) = \frac{N^2}{n} \left( 1- \frac{n}{N} \right) S^2_{y_s} \]
En donde \(S^2_{y_s}\) es la varianza de los valores de la característica de interés en la muestra aleatoria \(s\), dada por
\[ S^2_{y_s}=\frac{1}{n-1}\sum_{k\in S}(y_k-\bar{y}_s)^2 \]
Por otro lado, si el diseño de muestreo es aleatorio estratificado y el parámetro de interés es una media, la fórmula del estimador de Horvitz-Thompson es \(\bar{y}_{\pi} = \frac{1}{N}\sum_s d_k y_k = \sum_{h=1}^H W_h \bar{y}_h\); en donde \(W_h = N_h/N\). Ahora, siendo \(S^2_{yh}\) la varianza muestral en el estrato \(h\) de los valores de la característica de interés y definiendo \(w_h = n_h/n\), la fórmula de la estimación de la varianza es
\[ \widehat Var(\bar{y}_{\pi}) = \sum_{h=1}^H w_h^2 \frac{1-f_h}{n_h}S^2_{yh} \]
Cuando el diseño de muestreo se complejiza, también lo hace la estimación de la varianza. Por ejemplo, si el diseño de muestreo es estratificada y bietápico, de tal forma que dentro de cada estrato \(U_h\) \(h=1,\ldots, H\) existen \(N_{Ih}\) unidades primarias de muestreo, de las cuales se selecciona una muestra \(s_{Ih}\) de \(n_{Ih}\) unidades mediante un diseño de muestreo aleatorio simple; y además, se considera que el sub-muestreo dentro de cada unidad primaria seleccionada es también aleatorio simple, de tal manera que para cada unidad primaria de muestreo seleccionada \(i\in s_{Ih}\) de tamaño \(N_i\) se selecciona una submuestra \(s_i\) de elementos de tamaño \(n_i\), entonces la forma final del estimador de la varianza del estimador de Horvitz-Thompson para el total poblacional quedaría de la siguiente manera:
\[ \widehat{Var}(\hat{t}_{y,\pi})= \sum_{h=1}^H\left[\frac{N_{Ih}^2}{n_{Ih}}\left(1-\frac{n_{Ih}}{N_{Ih}}\right)S^2_{\hat{t}_{yh}S_I}+ \frac{N_{Ih}}{n_{Ih}}\sum_{i\in S_{Ih}}\frac{N_i^2}{n_i}\left(1-\frac{n_i}{N_i}\right)S^2_{y_{S_i}}\right] \]
En donde \(S^2_{\hat{t}_{y}S_I}\) y \(S^2_{y_{S_i}}\) son, respectivamente, las varianzas muestrales de los totales estimados en las UPM seleccionadas y las varianzas muestrales de los hogares incluidos en la submuestra dentro de las UPM seleccionadas en la muestra de la primera etapa.
Las fórmulas computacionales requeridas para estimar la varianza de estadísticas descriptivas como la media muestral están disponibles para algunos diseños complejos que incorporan elementos como la estratificación y el muestreo por conglomerados. Sin embargo, en el caso de estadísticas analíticas más complejas, tales como coeficientes de correlación y coeficientes de regresión, no se encuentra fácilmente las fórmulas específicas en diseños muestrales que se aparten del muestreo aleatorio simple. Estas fórmulas son enormemente complicadas o, en última instancia, se resisten al análisis matemático.