9.2 El estimador de Hájek para medias y proporciones
Cuando se quieren estimar medias y proporciones, es muy probable que no se tenga conocimiento exacto del tamaño poblacional. Por ejemplo, para la estimación de indicadores a nivel de hogar en encuestas mensuales, es difícil tener certeza exacta del número de hogares en el país mes a mes. Por esta razón, cuando se definen estimadores de indicadores relativos, es necesario hacer un doble proceso de inferencia: a nivel de la característica de interés que se quiere investigar, y a nivel del tamaño de la población. El enfoque más comúnmente usado es el de Hájek, que define el estimador para una media de la siguiente manera:
\[ \hat{\bar{y}}_s=\frac{\hat t_y}{\hat N} = \frac{\sum_sd_k\ y_{k}}{\sum_sd_k} \]
Para el caso de la estimación de una proporción \(P_d\), el estimador de Hájek toma la siguiente forma:
\[ \hat{P}_d=\frac{\hat N_d}{\hat N} = \frac{\sum_{s}d_k\ z_{dk}}{\sum_sd_k} = \frac{\sum_{s_d}d_k}{\sum_s d_k} \]
Para el caso de la estimación de una media en una subpoblación, como por ejemplo la media del gasto en el área urbana, el estimador de Hájek puede escribirse de la siguiente manera: \[ \hat{\bar{y}}_d=\frac{\hat t_{y_d}}{\hat N_d} = \frac{\sum_s d_k\ y_{k} \ z_{dk} }{\sum_s d_k \ z_{dk}} = \frac{\sum_{s_d} d_k\ y_{k}}{\sum_{s_d} d_k} \]
En general, este tipo de estimadores se pueden considerar no lineales y sus propiedades estadísticas son complejas, y puesto que tanto el numerador como el denominador son variables aleatorias, es necesaria la verificación de algunos supuestos que tienen que ver con el tamaño de la población y de la muestra (H. A. Gutiérrez 2016). En particular, bajo un diseño de muestreo que plantee un esquema estratificado y tres etapas de selección, el estimador de la media poblacional estará dado por la siguiente expresión:
\[ \hat{\bar{y}}_s=\frac{\sum_h \sum_{i \in s_{Ih}} \sum_{j \in s_{hi}} \sum_{k \in s_{hij}} w_{hijk} \ y_{hijk}}{\sum_h \sum_{i \in s_{Ih}} \sum_{j \in s_{hi}} \sum_{k \in s_{hij}} w_{hijk} } \]
Las demás expresiones para los estimadores de proporciones o medias en una subpoblación, bajo un diseño de muestreo regular, pueden ser fácilmente derivadas siguiendo los principios expuestos anteriormente.