9.3 Otros estimadores de muestreo
En presencia de información auxiliar es posible mejorar la eficiencia de la estimación acudiendo a diferentes formas funcionales que estiman el total; por ejemplo, con el estimador de razón:
\[ \hat{t}_{y, r} = t_x \frac{\sum_s d_k y_k}{\sum_s d_k x_k} \]
En donde \(t_x\) denota el total poblacional, que se supone conocido para toda la población, de una variable auxiliar \(x\) que es preguntada en la encuesta de hogares. Por supuesto, en el análisis de este tipo de encuestas es común realizar inferencias sobre parámetros que tienen una forma no lineal. Uno de los más básicos es la razón poblacional \(R_U = t_{y_1} / t_{y_2}\) cuya estimación se lleva a cabo estimando ambos componentes de la fracción
\[ \hat{R}= \frac{\hat{t}_{y_1}}{\hat{t}_{y_2}} = \frac{\sum_s d_k y_{1k}} {\sum_s d_k y_{2k}} \]
Como se indicó anteriormente, la estimación de un promedio poblacional \(\bar{y}_U = t_y / N\), se lleva a cabo de forma eficiente estimando el tamaño de la población y se puede ver como un caso particular de la estimación de una razón. Por otra parte, las encuestas de hogares con diseños panel o rotativos, tienen un mayor interés en la estimación del cambio de indicadores en dos periodos tiempo \(\Delta = t_{y^{(t)}} - t_{y^{(t-1)}}\). Nótese que un estimador de este parámetro está dado por
\[ \hat{\Delta} = \hat{t}_{y^{(t)}} - \hat{t}_{y^{(t-1)}} \]
Además, si el interés está en estimar algunas características asociadas con la pobreza, es posible utilizar estimadores más complejos. Siendo \(y_k\) el ingreso del individuo \(k\) y \(l\) el umbral de pobreza, entonces el siguiente estimador puede ser utilizado
\[ \hat{F}_{\alpha}=\frac{1}{N}\sum_{k\in s} d_k \left(\frac{l-y_k}{l}\right)^{\alpha}I(y_k<l) \]
En donde \(I(y_k<l)\) es una variable indicadora que toma el valor uno si \(y_k<l\) o cero, en cualquier otro caso. Note que si \(\alpha = 0\), se tiene una estimación de la incidencia de la pobreza y si \(\alpha = 1\), se obtiene un estimación de la brecha de la pobreza (Foster, Greer, y Thorbecke 1984).
La selección del estimador está altamente relacionada con el diseño de la encuesta. Por ejemplo, si se pretende estimar un indicador para un periodo de tiempo definido, el diseño de la encuesta no debería inducir un esquema de rotación que tenga traslape de hogares, puesto que la correlación del indicador induciría un aumento de su varianza y por ende pérdida de eficiencia. Sin embargo, si se desea estimar el cambio del indicador entre dos periodos de tiempos, es necesario contar con un esquema de rotación que asegure un tamaño de muestra suficiente para estimar con precisión este cambio. Cochran (1977, sec. 12.13) afirma que, cuando el interés se centra tanto en la estimación del indicador en el periodo actual como en la estimación del cambio entre periodos, es recomendable tener una tasa de traslape de 2/3, 3/4 o 4/5 de una ronda a otra.