9.5 Estimadores compuestos
Es posible mejorar la estimación del total actual \(t_y^{(t)}\) al tener en cuenta la información inducida por el traslape11 de la encuesta en el segundo periodo, así:
\[ \hat{t}_{y^{(t)}}^K = (1-K) \hat{t}_{y^{(t)}} + K (\hat{t}_{y^{(t-1)}} + \hat{\Delta}_M) \]
En donde \(0 < \alpha < 1\) y \(\hat{\Delta}_M=\hat{t}_{y^{(t)}}^M - \hat{t}_{y^{(t-1)}}^M\) es la diferencia de las estimaciones actual y previa en la muestra traslapada. Por otro lado, es posible añadir un término que dé cuenta de la diferencia entre las estimaciones actuales de las muestras con y sin traslape. De esta forma, un estimador compuesto es el siguiente:
\[ \hat{t}_{y^{(t)}}^{AK} = \hat{t}_{y^{(t)}}^K + A (\hat{t}_{y^{(t)}}^U - \hat{t}_{y^{(t)}}^M) \]
Steel y McLaren (2008) afirman que esta clase de estimadores pueden generar ganancias en eficiencia porque aprovechan la correlación entre las estimaciones del mismo panel a lo largo del tiempo y puede otorgar una ventaja adicional a la estimación tradicional que utiliza únicamente la muestra actual como un todo, sin detenerse en su composición: parte traslapada y parte no traslapada. Estos estimadores pueden usar diferentes valores para las constantes \(A\) y \(K\), las cuales pueden ser escogidas con el objetivo de minimizar la varianza del estimador, o pueden ser escogidas de forma separada para aumentar la eficiencia del estimador con respecto a estimadores de niveles, como totales o proporciones del periodo actual, o de cambios temporales. Gurney y Daly (1965) utilizan \(A=0.4\) y \(K=0.2\) en una aplicación con paneles rotativos.
Estos estimadores también pueden ser escritos como estimadores de regresión o calibración. En efecto, J. Gambino, Kennedy, y Singh (2001) proponen que, además de las covariables y restricciones de calibración usuales, es posible usar la siguiente covariable de calibración para estimar indicadores de nivel:
\[ x_k^{(l)} = \begin{cases} \hat {\bar y} ^{(t-1)}, \ \ \ \ \ k \in s_U \\ y_{k}^{(t-1)}, \ \ \ \ \ k \in s_M \end{cases} \]
Por ejemplo, si el interés está en la estimación de la proporción actual de personas ocupadas, entonces \(x_k^{(l)}\) representará la covariable que se deberá añadir al sistema de calibración, \(\hat {\bar y} ^{(t-1)}\) será la proporción estimada de personas ocupadas en el periodo anterior, mientras que \(y_{k}^{(t-1)}\) representará una variable dicotómica sobre la población económicamente activa que toma el valor uno, si la persona estuvo ocupada en el periodo anterior, o cero, si no. En este caso, el total de control correspondiente estará definido por el total nacional estimado de personas ocupadas en el periodo anterior. Por lo tanto, como es de esperarse, la suma ponderada (con los pesos de calibración) de esta covariable deberá ser igual a su total de control.
Para estimadores de cambio, J. Gambino, Kennedy, y Singh (2001) proponen la siguiente covariable:
\[ x_k^{(c)} = \begin{cases} y_{k}^{(t)}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k \in s_U \\ y_{k}^{(t)} - R(y_{k}^{(t)} - y_{k}^{(t-1)}), \ \ \ \ \ k \in s_M \end{cases} \]
En donde \(R = \sum_s w_k / \sum_{s_M} w_k\) es el inverso de la proporción de traslape real en el levantamiento. Siguiendo con el ejemplo, \(y_{k}^{(t)}\) representa una variable dicotómica sobre la población económicamente activa que toma el valor uno, si la persona estuvo ocupada en el periodo actual, o cero, si no. En este caso, el total de control correspondiente sigue estando definido por el total nacional estimado de personas ocupadas en el periodo anterior. Por lo tanto, al sumar sobre la muestra expandida, se presenta la siguiente relación \(\hat{t}_{y^{(t-1)}} = \hat{t}_{y^{(t)}} - \hat{\Delta}_M)\); es decir, que la estimación del periodo anterior es igual a la estimación del mes actual menos una diferencia de estimaciones en la muestra traslapada.
Es posible usar ambas covariables \(x_k^{(c)}\) y \(x_k^{(l)}\) en el sistema de calibración, aunque es probable sea encontrar pesos resultantes negativos o menores que uno. Para evitar estos inconvenientes numéricos, y dado que para ambas variables se tiene el mismo total de control, es posible definir una combinación lineal convexa y crear una nueva covariable de calibración, de la siguiente manera:
\[ x_k = (1-\alpha) x_k^{(l)} + \alpha x_k^{(c)} \]
Wayne A. Fuller y Rao (2001) mencionan que en algunas aplicaciones particulares, se ha encontrado mayor eficiencia (menor varianza) al utilizar valores de \(\alpha = 0.65\) o \(\alpha = 0.75\); aunque se recomienda usar \(\alpha = 2/3\) en los sistemas de producción de las ONE.
J. Gambino, Kennedy, y Singh (2001) afirman que existe una facilidad en la implementación de estos estimadores puesto que se corresponde con la manera usual de un sistema tradicional de ponderación en las encuestas de hogares; es decir, se crea una columna nueva en la base de datos definiendo el nuevo factor de expansión, y esto se logra simplemente con la adición de nuevas covariables a la matriz de calibración.
En América Latina, El Instituto Nacional de Estadística del Uruguay, decidió rediseñar en 2021 la Encuesta Continua de Hogares en 2019, la cual estaba definida desde el 2006 con base en la selección de muestras mensuales independientes. En la metodología nueva, se implementó un sistema de panel rotativo, en donde la muestra de un mes está compuesta por seis grupos de rotación y la recolección de la información tiene un carácter mixto: para la recolección de la información en la primera visita, de forma presencial y, para el seguimiento durante los siguientes cinco meses, de forma telefónica. Además, el INE implementó un sistema de estimación basado en los estimadores compuestos con mejoras en la eficiencia estadística (Ferreira 2019)
Referencias
En esta sección, la notación para la parte traslapada \(s_M\) de la muestra actual usará el superíndice \(M\) (matched); mientras que se utilizará el superíndice \(U\) (unmatched) para refereirse a la parte no traslapada \(s_U\) de la muestra actual.↩︎