Capítulo 9 Estimación de parámetros
Un estimador se define como una función de la muestra aleatoria, el cual toma valores en los reales y solo depende de los elementos pertenecientes a la muestra. A su vez, un diseño de muestreo, se define por el soporte que es el conjunto \(Q\) de todas las posibles muestras. Las propiedades estadísticas de un estimador están determinadas por la medida de probabilidad discreta inducida por el diseño de muestreo. Es decir, dada la probabilidad de selección de cada muestra \(s \in Q\), la esperanza, la varianza y otras propiedades de interés de los estimadores están definidas a partir de \(p(s)\). En particular, la esperanza de un estimador \(\hat\theta\) sigue la siguiente expresión:
\[ E(\hat\theta) = \sum_{s\subset Q} \theta(s)p(s) \]
Las propiedades más comúnmente buscadas en un estimador \(\hat\theta\) son el insesgamiento, la eficiencia y la consistencias. De esta manera, el sesgo está definido por la siguiente expresión:
\[ B(\hat\theta)=E(\hat\theta)-\theta \]
y el error cuadrático medio, dado por
\[ ECM(\hat\theta)=E[\hat\theta-\theta]^2=Var(\hat\theta)+B^2(\hat\theta). \]
Si el sesgo de un estimador es nulo, se dice que el estimador es insesgado y cuando esto ocurre el error cuadrático medio se convierte en la varianza del estimador. Además si la varianza del estimador es pequeña en relación con otros estimadores, se dice que el estimador es eficiente. Por último, si cuando el tamaño de muestra crece, el valor del estimador se acerca al parámetro desconocido, se dice que el estimador es consistente. C.-E. Särndal, Swensson, y Wretman (2003) afirman que el objetivo en un estudio por muestreo es estimar uno a más parámetros poblacionales. H. A. Gutiérrez (2016) resalta que las decisiones más importantes a la hora de abordar un problema de estimación por muestreo son
- La escogencia de un diseño de muestreo y un algoritmo de selección que permita implementar el diseño.
- La elección de una fórmula matemática o estimador que calcule una estimación del parámetro de interés en la muestra seleccionada.
Las anteriores no son decisiones independientes. Es decir, la escogencia de un estimador dependerá, usualmente, del diseño de muestreo utilizado. De hecho, si \(\hat\theta\) es un estimador del parámetro \(\theta\) y \(p_s(\cdot)\) un diseño de muestreo definido sobre un soporte \(Q\), entonces la estrategia de muestreo será la dupla \((p(\cdot),\hat{T})\). A continuación se presentan algunos estimadores comúnmente usados en el procesamiento de las encuestas de hogares en la región.
Aunque el marco de referencia de la teoría de muestreo es la estimación de un parámetro de interés, lo cierto es que en la práctica no solo se necesitan estimaciones que cobijen la población entera sino que también son indispensables estimaciones que involucren subgrupos poblacionales, puesto que estos inducen una partición de la población de interés. En general, es bien sabido que cuando se habla de subgrupos poblacionales se está haciendo referencia a dominios de interés, estratos o postestratos. Cuando el investigador se enfrenta a una encuesta que tiene en cuenta subgrupos poblacionales (es decir, siempre) es indispensable conocer en qué se diferencian cada uno de ellos, pues de esto depende que la investigación arroje resultados confiables mediante el planteamiento de la mejor estrategia de muestreo.
Asumiendo que \(U_1, \ldots, U_g, \ldots, U_G\) denotan los subgrupos poblacionales tales que \(\bigcup_{g=1}^GU_g=U\), y siendo \(N_g\) el tamaño absoluto del subgrupo \(U_g\), entonces se tiene que \(\sum_{g=1}^G N_g=N\). A partir de las anteriores definiciones, se pueden plantear algunas diferencias y similitudes entre cada uno de ellos. A continuación se resumen:
Dominios de interés: este tipo de subgrupos poblacionales son aquellos para los cuales se requieren estimaciones separadas. Estos requerimientos se planean en la etapa de diseño para asegurar que el diseño de la muestra sea tal que al momento de la recolección de la información exista una cobertura apropiada en cada uno de los dominios de interés. Por lo general, lo anterior sólo se puede lograr ampliando el tamaño de muestra \((n)\), puesto que el marco de muestreo no informa acerca de la pertenencia de los individuos a los dominios de interés. Un aspecto importante de esta clase de subgrupos poblacionales es que el número de individuos en la muestra que pertenecen a un dominio de interés es siempre aleatorio, y para algunos dominios particulares puede llegar a ser muy pequeño. Por otro lado el tamaño absoluto de cada dominio no se conoce ni antes de la etapa de diseño ni después de la etapa de estimación. Un ejemplo claro de estos subgrupos es la condición de ocupación, la condición de pobreza, la rama de actividad, entre otros.
Estratos: cuando el marco de muestreo permite conocer la pertenencia de todos los individuos de la población a un subgrupo poblacional, se dice que esta clase de subgrupos se llaman estratos. Más aun, cuando se sabe que la característica de interés tiene un comportamiento distinto en cada uno de los estratos y se planea un diseño de muestreo que tenga en cuenta este aspecto mediante la selección aleatoria de unidades en cada uno de los estratos, se dice que el diseño de muestreo es estratificado. El aspecto fundamental de esta clase de subgrupos poblacionales es que el conocimiento de la pertenencia de los individuos a los estratos se incorpora en la etapa de diseño de la muestra. Nótese que a diferencia de los dominios, en los estrato se conoce el tamaño poblacional y se controla el tamaño de muestra antes de la etapa de estimación. Un ejemplo claro de estos subgrupos son las zonas urbanas o rurales, regiones y municipios.
Postestratos: la propiedad que caracteriza a este tipo de subgrupos poblacionales es que aunque en la etapa de diseño el tamaño del postestrato es conocido, se desconoce el número de individuos que pertenecerán al postestrato en la muestra seleccionada. Un ejemplo claro de estos subgrupos son los grupos etarios, el sexo o la etnia que, si bien no siempre son utilizadas en la fase de diseño, sí se utilizan sus proyecciones demográficas en la fase de análisis para analizar mejorar la eficiencia de los estimadores. Al respecto C.-E. Särndal, Swensson, y Wretman (2003) afirman que existen dos situaciones en las cuales se presenta esta situación, llamada comúnmente postestratificación:
- Cuando el marco de muestreo es tal que se conoce la pertenencia de todos los elementos a los subgrupos poblacionales pero el investigador decide no utilizar esta información en la etapa de diseño. Las razones para esto son diversas pero principalmente se decide obviar este tipo de información por practicidad logística. Una vez que se ha realizado la selección de la muestra, se observa la característica de interés \(y_k\) en los individuos de la muestra. El investigador decide utilizar la información auxiliar de pertenencia a los postestratos en la etapa de estimación para mejorar la eficiencia de la estrategia de muestreo, en particular del estimador propuesto.
- Mediante alguna fuente de información confiable se conocen los tamaños absolutos \(N_g\) de cada subgrupo poblacional aunque se desconoce la pertenencia de los individuos a los subgrupos, pues el marco de muestreo presenta esta deficiencia. Después de la etapa de diseño, se observa la característica de interés y se pregunta acerca de la pertenencia de los individuos seleccionados en los postestratos de tal forma que en la etapa estimación se utiliza esta información para mejorar la eficiencia de los estimadores de los parámetros de interés.
Es posible afirmar que el análisis apropiado de una encuesta no puede pasar por alto las diferencias de estos subgrupos. Es más, el diseño y rediseño de las encuestas se basan fundamentalmente en la búsqueda de estos subgrupos en la población. En todas las encuestas de hogares que se planean en América Latina se busca investigar fenómenos asociados a subgrupos poblacionales que se encuentran dispersos en la geografía de los países y, en general, se podría especificar los siguientes aspectos:
- El tamaño de muestra de una encuesta casi siempre se basa en la incidencia de un fenómeno que clasifica a la población en algún dominio de interés.
- Este tamaño de muestra se reparte entre los diferentes estratos geográficos para mejorar la eficiencia del levantamiento de la información y del diseño de muestreo.
- En muchas ocasiones, las proyecciones demográficas sobre los post-estratos son utilizadas en la fase de estimación para mejorar la precisión de los estimadores.